Bài 20: Giải hệ
[TEX]\left{ \sqrt{1+ \sqrt{1-x^2}} =x(1+2\sqrt{ 1-y^2}) \\ \frac{1}{\sqrt{ x+1} } +\frac{ 1}{\sqrt{y+1}} = \frac{2}{\sqrt{1+ \sqrt{xy}}[/TEX]
Định hướng: Nhận thấy phương trình (2) của hệ phương trình hệ quả của 1 bất đẳng thức quen thuộc:
Với [TEX]x, y \ge 0,\ xy \le 1[/TEX], ta có:
[TEX]\frac{1}{x+1 } +\frac{ 1}{y+1} \le \frac{2}{1+ \sqrt{xy}}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi [TEX]\left[ xy = 1\\ x = y [/TEX]
Do đó ta sẽ đánh giá phương trình (2).
Bài giải:
Điều kiện:
Ta có BĐT sau:
Với [TEX]x, y \ge 0,\ xy \le 1[/TEX], ta có:
[TEX]\frac{1}{x+1 } +\frac{ 1}{y+1} \le \frac{2}{1+ \sqrt{xy}} (*)[/TEX]
Thật vậy, ta có:
[TEX](*) \Leftrightarrow( x+y + 2 )(\sqrt{xy}+1) \le 2 (x+y+xy+1) \\ \Leftrightarrow (1 - \sqrt{xy})(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \ge 0 (luon\ dung)[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi [TEX]\left[ xy = 1\\ x = y [/TEX]
Do đó xét phương trình (2) ta có:
[TEX]\left( \frac{1}{\sqrt{ x+1} } +\frac{ 1}{\sqrt{y+1}} \right)^2 \le 2 \left(\frac{1}{x+1 } +\frac{ 1}{y+1} \right) \le \frac{4}{1+\sqrt{xy}} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{ x+1} } +\frac{ 1}{\sqrt{y+1}} \le \frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}} [/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :
[TEX]\left{ \frac{1}{\sqrt{x+1}} = \frac{1}{\sqrt{y+1}} \\ \left[ x=y \\ xy = 1 \right. \right. \ \ \Leftrightarrow x = y [/TEX].
Thay [TEX]x=y[/TEX] vào phương trình (1), ta có :
[TEX] \sqrt{1+ \sqrt{1-x^2}} =x(1+2\sqrt{ 1-x^2}) \\ \Leftrightarrow 1 + \sqrt{1-x^2} = x^2 (2\sqrt{1-x^2}+1)^2 \ (do\ x>0) \\ [/TEX]
Đặt [TEX]t = 1 + \sqrt{ 1 -x^2} \ge 1[/TEX], ta có:
[TEX]t+1 = ( 1-t^2)( 2t + 1)^2 \\ \Leftrightarrow ( 1 -t)(4t^2 + 4t + 1) = 1 (do \ t+1 \ge 2>0) \\ \Leftrightarrow -4t^3 + 3t = 0 \\ \Leftrightarrow t = \frac{\sqrt{3}}{2} (do\ t \ge 1) \\ \Leftrightarrow 1-x^2 = \frac34 \\ \Leftrightarrow x = \frac12\ (do\ x>0)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow y = \frac12[/TEX]
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
[TEX]\left{ x = \frac 12 \\ y = \frac12[/TEX]
