Mới kiếm được
có vẻ như đề khá hay
Cùng làm nhé mọi người
Làm bài min max vậy, nhìn cái Q thì ta nghĩ ngay đến đưa Q về dạng ( gọi Q cho nó ko bị trùng)
[TEX]Q = 4\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^3 - 12\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) - 9\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)^2 + 18 = 4x^3 - 9x^2 - 12x + 18\left( {x \ge 2} \right)[/TEX]
đạo hàm thử biểu thức Q theo x ta thấy hàm này đồng biến trên
[TEX]\left[ {2; + \infty } \right)[/TEX] tuy nhiên khi thay a=b vào giả thiết nó lại ko có gt thỏa mãn như vậy ta biết rằng x>2 và cần tìm GTNN của x
Biến đổi giả thiết thành dạng [TEX]2S^2 = 3P + S\left( {P + 2} \right)(1)[/TEX]
để a,b, tồn tại dương thì cần phải có điều kiện
[TEX]S^2 \ge 4P > 0;S > 0[/TEX]
và ta thay vào giả thiết thì cần có
[TEX]2S^2 \le \frac{3}{4}S^2 + S\left( {\frac{{S^2 }}{4} + 2} \right) \Leftrightarrow S^2 - 5S + 8 \ge 0[/TEX] điều này là hiển nhiên đúng tức là với bộ số (S;P) dương bất kỳ thỏa mãn (1) ta luôn tìm được 2 số dương a và b vậy công việc còn lại của ta là phải tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
[TEX]\frac{S}{{\sqrt P }}[/TEX] với S;P thỏa mãn (1)
ta biến đổi 1 thành dạng [TEX]2\frac{{S^2 }}{P} - \frac{S}{{\sqrt P }}\left( {\sqrt P + \frac{2}{{\sqrt P }}}\right) - 3 = 0[/TEX]
đặt [TEX]\frac{S}{{\sqrt P }} = t[/TEX] thì ta có pt trên có nghiệm dương duy nhất
[TEX]t = \frac{{\left( {\sqrt P + \frac{2}{{\sqrt P }}} \right) + \sqrt {\left( {\sqrt P + \frac{2}{{\sqrt P }}} \right)^2 + 24} }}{4}[/TEX] và do ko có sự ràng buộc nào của S va P ngoài pt trên nên ta có [TEX]t \ge \frac{{2\sqrt 2 + \sqrt {32} }}{4} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}[/TEX]
tức là
[TEX]x = \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) = \frac{{S^2 }}{P} - 2 \ge \frac{5}{2}[/TEX] do dó [TEX]P \ge \frac{{ - 23}}{4}[/TEX] dấu đẳng thức khi
[TEX]\left\{ \begin{array}{l}P = 2 \\ S = 3 \\ \end{array} \right.[/TEX] hay là (a;b)=(1;2) hoắc (2;1)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
( tức ói máu