Toán [Toán 9] bất đẳng thức(2)

[quan8d]

[tex]\blue Let \ x^2+y^2=14x+6y+6. \ Max: \ 3x+4y ....? [/tex]

[TEX]x^2+y^2 = 14x+6y+6 \leftrightarrow (x-7)^2+(y-3)^2 = 64[/TEX]
[TEX](3x+4y)^2 = \left[3(x-7)+4(y-3)+33 \right]^2 \leq (9+16+\frac{165}{8})(64+\frac{264}{5}) = 5329[/TEX]
[TEX]\rightarrow 3x+4y \leq 73[/TEX]
Dấu "=" xảy ra [TEX]\leftrightarrow x = \frac{59}{5} ; y = \frac{47}{5}[/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]x^2+y^2 = 14x+6y+6 \leftrightarrow (x-7)^2+(y-3)^2 = 64[/TEX]
[TEX](3x+4y)^2 = \left[3(x-7)+4(y-3)+33 \right]^2 \leq (9+16+\frac{165}{8})(64+\frac{264}{5}) = 5329[/TEX]
[TEX]\rightarrow 3x+4y \leq 73[/TEX]
Dấu "=" xảy ra [TEX]\leftrightarrow x = \frac{59}{5} ; y = \frac{47}{5}[/TEX]

Tại sao lại để con số trong rồi áp dụng cho mệt vậy

[TEX]A = 3(x-7) + 4(y-3) + 33 \le \sqrt{(3^2+4^2)((x-7)^2+(y-3)^2)} + 33 = 40 + 33 = 73[/TEX]

Có phải khỏe không ?

 

[01263812493]

Tại sao lại để con số trong rồi áp dụng cho mệt vậy

[TEX]A = 3(x-7) + 4(y-3) + 33 \le \sqrt{(3^2+4^2)((x-7)^2+(y-3)^2)} + 33 = 40 + 33 = 73[/TEX]

Có phải khỏe không ?

Anh ơi cách này có sai không anh
[TEX]\blue x^2+y^2=14x+6y+6[/tex]
[tex]\blue \Rightarrow 3x+4y=-x^2-y^2+17x+10y+6=-[(x- \frac{17}{2})^2+(y-5)^2] +103,25 \leq 103,25[/TEX]

Em coi thử dấu = có xảy ra không ?
[TEX] \red \left{ x = \frac{17}{2} \\ y = 5 \\ x^2+y^2=14x+6y+6 \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ????????????[/TEX]

 

[bboy114crew]

cho x,y,z duong thoa man [tex]xy^2z^2 + x^2z + y = 3z^2 [/tex]
tim max [tex]\frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}[/tex]

 

[0915549009]

cho x,y,z duong thoa man [tex]xy^2z^2 + x^2z + y = 3z^2 [/tex]
tim max [tex]\frac{z^4}{1+z^4(x^4+y^4)}[/tex]

Áp dụng Cauchy

Hơi ngắn gọn tí ^^

 

[bboy114crew]

Chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c ta luôn có:
[tex] \frac{ a^{4} + b^{4} + c^{4}}{ab+bc+ca} +\frac{3abc}{a+b+c}[/tex] \geq [tex] \frac{2}{3} [/tex] ([tex] a^{2} [/tex] + [tex] b^{2} [/tex] + [tex] c^{2} [/tex] )

 

[trydan]

Đề HSG Hải Dương 2010-2011

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng

 

[bboy114crew]

tui làm như sau xin moi người chấm bài hộ !
Từ điều kiện : [tex] xy^2z^2 + x^2z + y = 3z62 [/tex]
[tex] xy^2 + x^2. \frac{1}{z} + y^2. \frac{1}{z^2} = 3 [/tex]
Biểu thức P có dạng : [tex] P = \frac{1}{ \frac{1}{z^4} + x^4 + y^4} [/tex]
Đặt [tex] t = \frac{1}{z} [/tex]. Điều kiện được viết lại : [tex] xy^2 + yt^2 + tx^2 = 3 [/tex]
Biểu thức P được viết lại : [tex] P = \frac{1}{ t^4 + x^4 + y^4} [/tex]
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho bốn số dương , ta có : [tex] \left\{\begin{array}{l}x^4 + y^4 + y^4 + 1 \geq 4xy^2\\y^4 + t^4 + t^4 + 1 \geq 4yt^2\\t^4 + x^4 + x^4 + 1 \geq 4tx^2\end{array}\right.[/tex]
[tex] => 3 ( x^4 + y^4 + t^4 ) + 3 \geq 4 (xy^2 + yt^2 + tx^2 ) = 4.3 = 12 [/tex]
[tex] => x^4 + y^4 + t^4 \geq 3 => \frac{1}{x^4 + y^4 + t^4} \leq \frac{1}{3} [/tex]
Vậy [tex] max_P = \frac{1}{3} [/tex] đạt được khi x = y = z = 1

 

[ohmymath]

Chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c ta luôn có:
[tex] \frac{ a^{4} + b^{4} + c^{4}}{ab+bc+ca} [/tex] \geq [tex] \frac{2}{3} [/tex] ([tex] a^{2} [/tex] + [tex] b^{2} [/tex] + [tex] c^{2} [/tex] )

Uả cậu ơi có nhầm ko vậy??
Phải là [TEX]\frac{1}{3}[/TEX] chứ nhì?? Nếu không thì phản ví dụ đó chính là a=b=c đấy )
Còn nếu là [TEX]\frac{1}{3}[/TEX] thì áp dụng bất đẳng thức Côsi là OK thui mờ

 

[bboy114crew]

1)cho a+b+c=6;a,b,c \geq 0.CMR:
[TEX]\sum\frac{a}{\sqrt{b^3+1}} \geq 2[/TEX]
2)Cho [tex]x,y,z>0[/tex] cmr

[tex]\frac{x}{4x+4y+z}+\frac{y}{4y+4z+x}+\frac{z}{4z+4x+y}\leq\frac{1}{3}[/tex]

 

[bboy114crew]

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện

Chứng minh rằng

Mãi mới mò ra kĩ thuật làm bài nqy!
Một bài tương tụ có trên THTT !
giả sử [TEX]a=max{a,b,c}[/TEX]
ta dễ dàng chứng minh:
[TEX]f(a,b,c) - f(a,b,\sqrt{ab}) \geq 0[/TEX]
và [TEX] f(a,b,\sqrt{ab}) \geq \frac{22}{5}[/TEX] với [TEX]a,b,c \in [\frac{1}{2};2]][/TEX]

 

[khanh_ndd]

1)cho a+b+c=6;a,b,c \geq 0.CMR:
[TEX]\sum\frac{a}{\sqrt{b^3+1}} \geq 2[/TEX]
2)Cho [tex]x,y,z>0[/tex] cmr

[tex]\frac{x}{4x+4y+z}+\frac{y}{4y+4z+x}+\frac{z}{4z+4x+y}\leq\frac{1}{3}[/tex]

1,[TEX]\sum\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}=\sum\frac{a}{\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}}\geq \sum\frac{2a}{b^2+2}[/TEX]
Lại có [TEX]\sum\frac{2a}{b^2+2}=\sum a-\sum\frac{ab^2}{b^2+2}=6-\sum\frac{ab^2}{b^2+2}[/TEX]
[TEX]\sum\frac{ab^2}{b^2+2}\leq \sum{\frac{ab^2}{3\sqrt[3]{2b^4}}=\sum \frac{a\sqrt[3]{b^2}}3\leq \sum \frac{ab+ab+2a}{9}\leq \frac{2.\frac{(a+b+c)^2}{3}+2(a+b+c)}{9}=4 \Rightarrow [/TEX]đpcm
2, http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=18212

 

[bboy114crew]

[tex]4,Cho[/tex] [tex] a,b,c>0 t/m: a+b+c \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.CMR: a+b+c \geq \frac{3}{a+b+c}+ \frac{2}{abc}[/tex]

 

[khanh_ndd]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
[TEX](a+b+c)^2 \ge 3+2(\sum\frac{1}{ab}).[/TEX]

Mà ta có: [TEX](\sum\frac{1}{ab}) \le \frac{1}{3}(\sum\frac{1}{a})^2 \le \frac{1}{3}(a+b+c)^2.[/TEX]
Khi đó ta cần chứng minh:
[TEX](a+b+c)^2 \ge 3+\frac{2}{3}(a+b+c)^2 \Leftrightarrow (a+b+c)^2 \ge 9\ \ (1)[/TEX]
Mà từ giả thiết áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:
[TEX]a+b+c \ge \sum\frac{1}{a} \ge \frac{9}{a+b+c} \Rightarrow a+b+c \ge 3.\ \ (2)[/TEX]
Kết hợp (1), (2) cho ta đpcm.

 

[bboy114crew]

Cho các số thực [tex]x,y,z[/tex] thỏa mãn [tex]xyz \ge 1[/tex]và[tex]xy + yz + xz = 3[/tex] . CMR:
[tex]\frac{2}{{{{\left( {x + y + 2} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {y + z + 2} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {x + z + 2} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{{x^2} + 7}} + \frac{1}{{{y^2} + 7}} + \frac{1}{{{z^2} + 7}}[/tex]

 

[viet_tranmaininh]

Chứng minh rằng trong 2007 số khác nhau tuỳ ý được lấy từ tập hợp
S={[TEX]1,2,3,...,2006^{2007}[/TEX]},có ít nhất 2 số x,y thoả mãn:
[TEX]0<|\sqrt[2007]{x}-\sqrt[2007]{y}|<1[/TEX]
Hỏi rằng có tìm được bài toán tổng quát của bài toán trên không?

 

[bboy114crew]

Chứng minh rằng trong 2007 số khác nhau tuỳ ý được lấy từ tập hợp
S={[TEX]1,2,3,...,2006^{2007}[/TEX]},có ít nhất 2 số x,y thoả mãn:
[TEX]0<|\sqrt[2007]{x}-\sqrt[2007]{y}|<1[/TEX]
Hỏi rằng có tìm được bài toán tổng quát của bài toán trên không?

Gỉa sử 2007 số đã cho là [TEX]a_1;a_2;...;a_{2007}[/TEX]với [TEX]a_1 > a_2 >...> a_{2007}[/TEX]
xét 2006 số sau :
[TEX]b_{i}= \sqrt[2007]{a_i}-\sqrt[2007]{a_{i+1}}[/TEX] với i từ 1 đến 2006
giả sử [TEX]b_1+b_2+...+b_{2006} = \sqrt[2007]{a_1}-\sqrt[2007]{a_{2007}} \geq 2006 \Rightarrow a_1 \geq 2006^{2007}, [/TEX] vô lí .
nên có ít nhất trong hai số đã cho bằng nhau
\Rightarrow tìm được bài toán tổng quát của bài toán trên

Cho các số thực [tex]x,y,z[/tex] thỏa mãn [tex]xyz \ge 1[/tex]và[tex]xy + yz + xz = 3[/tex] . CMR:
[tex]\frac{2}{{{{\left( {x + y + 2} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {y + z + 2} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {x + z + 2} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{{x^2} + 7}} + \frac{1}{{{y^2} + 7}} + \frac{1}{{{z^2} + 7}}[/tex]
Áp dụng BĐT [tex](a+b+c)^{2} \geq 3(ab+bc+ca) [/tex] ta có:
[tex] (xy+yz+zx)^2 \geq 3xyz(x+y+z) \Rightarrow 3 \geq x+y+z [/tex]
Ta có [tex]\frac{1}{(x+y+2)^2} + \frac{1}{(y+z+2)^2} \geq \frac{2}{(x+y+2)(y+z+2)} (1) [/tex]
Ta CM: [tex] \frac{2}{(x+y+2)(y+z+2)} \geq \frac{1}{y^2+7} (2) [/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2(y^2+7) \geq (x+y+2)(y+z+2) [/tex]
[tex] \Leftrightarrow 2y^2 +14 \geq xy+xz +2x + y^2 +yz +2y + 2y + 2z +4 [/tex]
[tex] \Leftrightarrow y^2-2y+1 +2(3-x-y-z) \geq 0 [/tex] (đúng)
Từ (1)và (2) :Rightarrow đpcm

 

[asroma11235]

Chứng minh rằng: [TEX](a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1) \leq 8[/TEX]
Trong đó a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: [TEX]ab+bc+ac = abc[/TEX]

 

[lelinh19lucky]

CMR bất đẳng thức sau đúng với mọi số nguyên dương a,b,c
[TEX]\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}[/TEX] +[TEX]\frac{54abc}{ (a+b+c)^3}[/TEX]\geq 5
cảm ơn ạ

 

[0915549009]

[TEX]1)P=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd[/TEX] và [TEX]ad-bc=1. CMR \ P \geq \sqrt{3}[/TEX]
[TEX]2) x,y,z>2 , \ \sum \frac{1}{x}=1. CMR: \ (x-2)(y-2)(z-2) \leq 1[/TEX]