K
kimxakiem2507
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
MỞ ĐẦU:TỔ HỢP lá một phần tự chọn trong đề thi đại học nhiều năm qua,là một phần có thể nói là dễ đối với những bạn đã nắm được nguyên lý hình thành của nó nhưng cũng thực sự quá khó khăn nếu như bạn không nắm được bản chất của nó mặc dù đã giải qua rất nhiều bài tập nhưng đó chỉ là nắm được cái ngọn còn gốc thì chưa biết đang nằm ở đâu nên rất dễ mất tự tin khi gặp loại bài này.hocmaihocmai!
Phần I: Các công thức cơ bản:
1) Hoán vị [TEX]:P_n=n![/TEX]
2)Chỉnh hợp:[TEX]A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}[/TEX]
3) Tổ hợp:[TEX]C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}[/TEX]
4)[TEX]C_n^0=C_n^n=A_n^0=1[/TEX] [TEX]A_n^n=n![/TEX]
5)[TEX]C_n^k=C_n^{n-k}[/TEX]
6)[TEX]n,k\in{Z^*},k\le{n}[/TEX]
7)Nhị thức newton:[TEX](a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k{a^{n-k}b^k[/TEX]
Phần 2 :CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
A)Dạng 1:Tìm hệ số của khai triển
1) khi biểu thức khai triển chỉ có 2 phần tử
+trong khai triển nhị thức newton phần tử của khai triển thứ [TEX]n[/TEX]ứng với [TEX]k=n-1 [/TEX]ví dụ phần từ thứ 1 ứng với k=0,thứ 2 ứng với k=1....
+Đưa các số a,b về dạng [TEX] x^i[/TEX] (nếu có chứa x) nhớ [TEX]\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}[/TEX]) nếu số mũ nằm dưới mẫu thì đưa lên tử thêm dấu - trước mũ
+Áp dụng nhị thức newton ,gom tất cà các phần tử có chứa [TEX]x[/TEX] về [TEX]x^{t}[/TEX],muốn tìm hệ số của phần tử [TEX]x^z[/TEX] ta cho tương ứng [TEX] t=z [/TEX] (nếu tìm hệ số khộng chứa [TEX] x [/TEX] ,không phụ thuộc[TEX] x [/TEX] thì ta cho [TEX] t=0[/TEX])
+giải ra [TEX]k[/TEX],cái đứng trước [TEX] x^t[/TEX] sẽ là hệ số của nó cần tìm
2) khi biểu thức có nhiều hơn 2 phần tử (mà thường gặp là 3 phần tử)
+Nhóm các phần tử lại và xem như chỉ có 2 phần tử rồi áp dụng khai triển newton ,lại tiếp tục khai triển newton cho các phần tử trong đó nữa để cuối cùng ta đưa tất cả về [TEX]x^t[/TEX] và lại làm như trên(tuy nhiên sẽ từ điều kiện ràng buộc biểu thức có nghĩa để tìm ra các đại lượng [TEX]k,i...[/TEX],theo dõi các ví dụ bên dưới)
VÍ DỤ 1 .Tìm hệ số của số hạng chứa [TEX]x^{43}[/TEX] trong kha triển sau:[TEX]\huge{(\sqrt{x^5}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}})^{21}[/TEX]
[TEX]\huge{(\sqrt{x^5}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}})^{21}=(x^{\frac{5}{2}}+x^{\frac{-2}{3}})^{21}=\sum_{k=0}^{21} C_{21}^k(x^{\frac{5}{2}})^{21-k}.(x^{\frac{-2}{3}})^k[/TEX][TEX]=\sum_{k=0}^{21} C_{21}^kx^{\frac{5}{2}(21-k).+\frac{-2}{3}k[/TEX]
Hệ số của [TEX]x^{43} [/TEX] tương ứng với [TEX]\frac{5}{2}(21-k).+\frac{-2}{3}k=43\Leftrightarrow{k=3[/TEX]Vậy hệ số cần tìm là [TEX]C_{21}^3[/TEX]
VÍ DỤ 2:Cho biểu thức [TEX](\sqrt{x^3}+\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}})^n[/TEX] .Biết tổng hệ số của ba phần tử đầu tiên chứa x trong khai triển là [TEX]631[/TEX] hãy tìm hệ số của [TEX]x^5 [/TEX] trong khai triển trên
[TEX]\huge{(\sqrt{x^3}+\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}})^n=(x^{\frac{3}{2}}+3x^{\frac{-2}{3}})^n=\sum_{k=0}^n C_n^k(x^{\frac{3}{2}})^{n-k}.(3x^{\frac{-2}{3}})^k=\sum_{k=0}^n C_n^k3^kx^{\frac{3}{2}(n-k)-\frac{2k}{3}}[/TEX]
Hệ số chứa x là [TEX] C_n^k3^k[/TEX] ba phần tử đầu tiên ứng với [TEX]k=0,1,2[/TEX] nên ta có [TEX]\huge{C_n^03^0+C_n^13^1+C_n^23^2=631\Leftrightarrow{n=12[/TEX]
Hệ số của [TEX]x^5[/TEX] tương ứng với [TEX]\huge{\frac{3}{2}(12-k)-\frac{2k}{3}=5\Leftrightarrow{k=6[/TEX] Vậy hệ số cần tìm là [TEX]C_{12}^63^6[/TEX]
VÍ DỤ 3: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :[TEX]\huge{(1-2x-\frac{1}{x^2})^9[/TEX]
[TEX]\huge{(1-2x-\frac{1}{x^2})^9=[1-(2x+x^{-2}]^9=\sum_{k=0}^9 C_9^k(-1)^k(2x+x^{-2})^k=\sum_{k=0}^9 C_9^k(-1)^k[\sum_{i=0}^k C_k^i(2x)^{k-i}(x^{-2})^i][/TEX][TEX]\huge{=\sum_{k=0}^9 C_9^k(-1)^k[\sum_{i=0}^k C_k^i2^{k-i}x^{k-3i}][/TEX]
Số hạng không chứa x tương ứng với [TEX]\left{k-3i=0\\0\le{i}\le{k}\le{9}\\i,k\in{Z^*}[/TEX][TEX]\Rightarrow{0\le{3i}\le9\Leftrightarrow{0\le{i}\le3[/TEX] vậy ta có các cặp [TEX](k,i) : (0,0)(3,1)(6,2)(9,3)[/TEX]
Vậy số hạng cần tìm là tổng của :[TEX]C_9^k(-1)^kC_k^i2^{k-i}[/TEX]với các cặp như trên
Nhận xét :thường thi loại này ít gặp trường hợp (k,i) là (0,0) nên đa số chúng ta nghĩ rằng không chọn cặp này vì ít thấy[TEX] C_0^0[/TEX] nhưng điều kiện tồn tại cùa [TEX]C_n^k[/TEX] đã chỉ ra rằng [TEX]n=0[/TEX] vẫn ok
Các bài luyện tập :
1)Tìm các giá trị của x sao cho trong tổng khai triển của [TEX]\huge{(\sqrt{2^x}+\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}})^n[/TEX] có tổng số hạng thứ [TEX]3[/TEX] và thứ [TEX]5[/TEX] là [TEX]135[/TEX] còn các hệ số của 3 số hạng cuối trong khai triển đó có tổng là [TEX]22[/TEX] (n nguyên đương)
2)Với giá trị nào của x thì số hạng thứ [TEX]6[/TEX] trong khai triển nhị thức là [TEX]84[/TEX]
[TEX]\huge{(2^{log_2\sqrt{9^{x-1}-7}}+2^{\frac{1}{5}log_2(3^{x-1}+1)})^7[/TEX]
3)Trong khai triển của nhị thức sau [TEX]\huge{(x\sqrt[3]x+x^{\frac{-28}{15}})^n[/TEX] hãy tìm số hạng không chứa[TEX]x[/TEX] biết rằng [TEX]\huge{C_n^n+C_n^{n-1}+C_n^{n-2}=79[/TEX]
4) Hãy tìm hệ số của [TEX]x^8[/TEX] trong khai triển:[TEX]\huge{(\frac{1}{x^3}+\sqrt{x^5})^n [/TEX] biết rằng :[TEX]C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^n=7(n+3) (khoi A 2003)[/TEX]
5)Tìm hệ số của [TEX]x^8[/TEX]trong khai triển [TEX][1+x^2(1-x)]^8 (\mathrm{\blue{khoiA-2004)[/TEX]
6) Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển[TEX] (\sqrt3+\sqrt[3]2)^{19}[/TEX]
7)Tìm hệ số của [TEX]x^{10}[/TEX] trong khai triển [TEX]\mathrm{ (1 + x- x^2)^{20} [/TEX]
Các bạn hãy ủng hộ thật nhiều bài tập dạng này nhé,mình sẽ lần lượt trình bày tất cả các dạng còn lại(với những gì mình biết),chúc tất cả các bạn vui nhé!
Phần I: Các công thức cơ bản:
1) Hoán vị [TEX]:P_n=n![/TEX]
2)Chỉnh hợp:[TEX]A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}[/TEX]
3) Tổ hợp:[TEX]C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}[/TEX]
4)[TEX]C_n^0=C_n^n=A_n^0=1[/TEX] [TEX]A_n^n=n![/TEX]
5)[TEX]C_n^k=C_n^{n-k}[/TEX]
6)[TEX]n,k\in{Z^*},k\le{n}[/TEX]
7)Nhị thức newton:[TEX](a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k{a^{n-k}b^k[/TEX]
Phần 2 :CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
A)Dạng 1:Tìm hệ số của khai triển
1) khi biểu thức khai triển chỉ có 2 phần tử
+trong khai triển nhị thức newton phần tử của khai triển thứ [TEX]n[/TEX]ứng với [TEX]k=n-1 [/TEX]ví dụ phần từ thứ 1 ứng với k=0,thứ 2 ứng với k=1....
+Đưa các số a,b về dạng [TEX] x^i[/TEX] (nếu có chứa x) nhớ [TEX]\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}[/TEX]) nếu số mũ nằm dưới mẫu thì đưa lên tử thêm dấu - trước mũ
+Áp dụng nhị thức newton ,gom tất cà các phần tử có chứa [TEX]x[/TEX] về [TEX]x^{t}[/TEX],muốn tìm hệ số của phần tử [TEX]x^z[/TEX] ta cho tương ứng [TEX] t=z [/TEX] (nếu tìm hệ số khộng chứa [TEX] x [/TEX] ,không phụ thuộc[TEX] x [/TEX] thì ta cho [TEX] t=0[/TEX])
+giải ra [TEX]k[/TEX],cái đứng trước [TEX] x^t[/TEX] sẽ là hệ số của nó cần tìm
2) khi biểu thức có nhiều hơn 2 phần tử (mà thường gặp là 3 phần tử)
+Nhóm các phần tử lại và xem như chỉ có 2 phần tử rồi áp dụng khai triển newton ,lại tiếp tục khai triển newton cho các phần tử trong đó nữa để cuối cùng ta đưa tất cả về [TEX]x^t[/TEX] và lại làm như trên(tuy nhiên sẽ từ điều kiện ràng buộc biểu thức có nghĩa để tìm ra các đại lượng [TEX]k,i...[/TEX],theo dõi các ví dụ bên dưới)
VÍ DỤ 1 .Tìm hệ số của số hạng chứa [TEX]x^{43}[/TEX] trong kha triển sau:[TEX]\huge{(\sqrt{x^5}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}})^{21}[/TEX]
[TEX]\huge{(\sqrt{x^5}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}})^{21}=(x^{\frac{5}{2}}+x^{\frac{-2}{3}})^{21}=\sum_{k=0}^{21} C_{21}^k(x^{\frac{5}{2}})^{21-k}.(x^{\frac{-2}{3}})^k[/TEX][TEX]=\sum_{k=0}^{21} C_{21}^kx^{\frac{5}{2}(21-k).+\frac{-2}{3}k[/TEX]
Hệ số của [TEX]x^{43} [/TEX] tương ứng với [TEX]\frac{5}{2}(21-k).+\frac{-2}{3}k=43\Leftrightarrow{k=3[/TEX]Vậy hệ số cần tìm là [TEX]C_{21}^3[/TEX]
VÍ DỤ 2:Cho biểu thức [TEX](\sqrt{x^3}+\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}})^n[/TEX] .Biết tổng hệ số của ba phần tử đầu tiên chứa x trong khai triển là [TEX]631[/TEX] hãy tìm hệ số của [TEX]x^5 [/TEX] trong khai triển trên
[TEX]\huge{(\sqrt{x^3}+\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}})^n=(x^{\frac{3}{2}}+3x^{\frac{-2}{3}})^n=\sum_{k=0}^n C_n^k(x^{\frac{3}{2}})^{n-k}.(3x^{\frac{-2}{3}})^k=\sum_{k=0}^n C_n^k3^kx^{\frac{3}{2}(n-k)-\frac{2k}{3}}[/TEX]
Hệ số chứa x là [TEX] C_n^k3^k[/TEX] ba phần tử đầu tiên ứng với [TEX]k=0,1,2[/TEX] nên ta có [TEX]\huge{C_n^03^0+C_n^13^1+C_n^23^2=631\Leftrightarrow{n=12[/TEX]
Hệ số của [TEX]x^5[/TEX] tương ứng với [TEX]\huge{\frac{3}{2}(12-k)-\frac{2k}{3}=5\Leftrightarrow{k=6[/TEX] Vậy hệ số cần tìm là [TEX]C_{12}^63^6[/TEX]
VÍ DỤ 3: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :[TEX]\huge{(1-2x-\frac{1}{x^2})^9[/TEX]
[TEX]\huge{(1-2x-\frac{1}{x^2})^9=[1-(2x+x^{-2}]^9=\sum_{k=0}^9 C_9^k(-1)^k(2x+x^{-2})^k=\sum_{k=0}^9 C_9^k(-1)^k[\sum_{i=0}^k C_k^i(2x)^{k-i}(x^{-2})^i][/TEX][TEX]\huge{=\sum_{k=0}^9 C_9^k(-1)^k[\sum_{i=0}^k C_k^i2^{k-i}x^{k-3i}][/TEX]
Số hạng không chứa x tương ứng với [TEX]\left{k-3i=0\\0\le{i}\le{k}\le{9}\\i,k\in{Z^*}[/TEX][TEX]\Rightarrow{0\le{3i}\le9\Leftrightarrow{0\le{i}\le3[/TEX] vậy ta có các cặp [TEX](k,i) : (0,0)(3,1)(6,2)(9,3)[/TEX]
Vậy số hạng cần tìm là tổng của :[TEX]C_9^k(-1)^kC_k^i2^{k-i}[/TEX]với các cặp như trên
Nhận xét :thường thi loại này ít gặp trường hợp (k,i) là (0,0) nên đa số chúng ta nghĩ rằng không chọn cặp này vì ít thấy[TEX] C_0^0[/TEX] nhưng điều kiện tồn tại cùa [TEX]C_n^k[/TEX] đã chỉ ra rằng [TEX]n=0[/TEX] vẫn ok
Các bài luyện tập :
1)Tìm các giá trị của x sao cho trong tổng khai triển của [TEX]\huge{(\sqrt{2^x}+\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}})^n[/TEX] có tổng số hạng thứ [TEX]3[/TEX] và thứ [TEX]5[/TEX] là [TEX]135[/TEX] còn các hệ số của 3 số hạng cuối trong khai triển đó có tổng là [TEX]22[/TEX] (n nguyên đương)
2)Với giá trị nào của x thì số hạng thứ [TEX]6[/TEX] trong khai triển nhị thức là [TEX]84[/TEX]
[TEX]\huge{(2^{log_2\sqrt{9^{x-1}-7}}+2^{\frac{1}{5}log_2(3^{x-1}+1)})^7[/TEX]
3)Trong khai triển của nhị thức sau [TEX]\huge{(x\sqrt[3]x+x^{\frac{-28}{15}})^n[/TEX] hãy tìm số hạng không chứa[TEX]x[/TEX] biết rằng [TEX]\huge{C_n^n+C_n^{n-1}+C_n^{n-2}=79[/TEX]
4) Hãy tìm hệ số của [TEX]x^8[/TEX] trong khai triển:[TEX]\huge{(\frac{1}{x^3}+\sqrt{x^5})^n [/TEX] biết rằng :[TEX]C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^n=7(n+3) (khoi A 2003)[/TEX]
5)Tìm hệ số của [TEX]x^8[/TEX]trong khai triển [TEX][1+x^2(1-x)]^8 (\mathrm{\blue{khoiA-2004)[/TEX]
6) Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển[TEX] (\sqrt3+\sqrt[3]2)^{19}[/TEX]
7)Tìm hệ số của [TEX]x^{10}[/TEX] trong khai triển [TEX]\mathrm{ (1 + x- x^2)^{20} [/TEX]
Các bạn hãy ủng hộ thật nhiều bài tập dạng này nhé,mình sẽ lần lượt trình bày tất cả các dạng còn lại(với những gì mình biết),chúc tất cả các bạn vui nhé!
Last edited by a moderator:
