[ltdh chuyên đề 1]tổ hợp

[vodichhocmai]

tính tổng:
[tex]S=(\frac{C_n^0}{1})^2+(\frac{C_n^1}{2})^2+...+( \frac{C_n^n}{n+1} )^2[/tex]

Hướng dẫn:

[TEX]\frac{C_n^k}{k+1}=\frac{n!}{(n-k)!k!(k+1)}=\frac{C_{n+1}^{k+1}}{n+1}[/TEX]

[TEX]\righ \(n+1\)^2S:=\(C_{n+1}^1\)^2+\(C_{n+1}^2\)^2+\(C_{n+1}^3\)^2+...+\(C_{n+1}^{n+1}\)^2[/TEX]

Tới đây quá quen thuộc chỉ cần đồng nhất thức hệ số mũ của [TEX](1+x)^{n+1}\(x+1\)^{n+1}[/TEX]trong khai triể là ra.

 

[lamanhnt]

xác định hệ số của [tex]x^4[/tex] trong khai triển [tex] (1-x.sqrt{2}- x^2.sqrt{3})^n[/tex] trong đó n thảo mãn [tex]16.C_{n+1}^2=A_{n+1}^3[/tex]

 

[maianha1ht]

Làm giúp em bài này với ak.
[TEX](1+x+x^2+...+x^{100})^3[/TEX] đc khai triển = [TEX]A_0 + A_1.x +A_2.x^2 +...+A_{300}.x^{300} . \text{Tim} A_{100}[/TEX]

 

[linhdangvan]

xác định hệ số của [tex]x^4[/tex] trong khai triển [tex] (1-x.sqrt{2}- x^2.sqrt{3})^n[/tex] trong đó n thảo mãn [tex]16.C_{n+1}^2=A_{n+1}^3[/tex]

[tex]16.C_{n+1}^2=A_{n+1}^3----->n=9[/tex]

[tex] (1-x.sqrt{2}- x^2.sqrt{3})^9[/tex][TEX]= \sum\limits_{k=0}^{9}C^k_9.(-1)^k(x\sqrt{2}+x^2\sqrt{3})^k[/TEX][TEX]= \sum\limits_{k=0}^{9}C^k_9.(-1)^k.\sum\limits_{A=0}^{k}C^A_k.(\sqrt{2})^{(k-A)}.\sqrt{3}^{k}.x^{k+A}[/TEX]
-->[TEX]\left{\begin{k+A=4}\\{k \geq A}\\{0 \leq k \leq 9 [/TEX]
[TEX]\left{\begin{k=4}\\{A=0} [/TEX][TEX]\left{\begin{k=3}\\{A=1} [/TEX][TEX]\left{\begin{k=2}\\{A=2} [/TEX]
thay vào dài quá nhỉ

 

[momaru12]

Giải dùm e mấy bài này nha
Trong một môn học có 30 câu hỏi khác nhau : 5 câu khó, 10 câu TB, 15 câu dễ. Từ 30 câu đó hỏi có thể lập được bao nhiêu đề KT, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong 1 đề cần thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và câu hỏi dễ không ít hơn 2.

2)Có 15 người vừa nam vừa nữ. Hỏi có bao nhiêu cách để phân công 15 người đó thao gia giúp đỡ 3 tĩnh miền núi sao cho mỗi tĩnh có 4 nam và 1 nữ.

Từ 5 chữ sô 0,1,3,5,7 có thể lập được bao nhiêu chữ số có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
Thanks

 

[thienthan1262]

VÍ DỤ 3: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :[TEX]\huge{(1-2x-\frac{1}{x^2})^9[/TEX]
[TEX]\huge{(1-2x-\frac{1}{x^2})^9=[1-(2x+x^{-2}]^9=\sum_{k=0}^9 C_9^k(-1)^k(2x+x^{-2})^k=\sum_{k=0}^9 C_9^k(-1)^k[\sum_{i=0}^k C_k^i(2x)^{k-i}(x^{-2})^i][/TEX][TEX]\huge{=\sum_{k=0}^9 C_9^k(-1)^k[\sum_{i=0}^k C_k^i2^{k-i}x^{k-3i}][/TEX]
Số hạng không chứa x tương ứng với [TEX]\left{k-3i=0\\0\le{i}\le{k}\le{9}\\i,k\in{Z^*}[/TEX][TEX]\Rightarrow{0\le{3i}\le9\Leftrightarrow{0\le{i}\le3[/TEX] vậy ta có các cặp [TEX](k,i) : (0,0)(3,1)(6,2)(9,3)[/TEX]
Vậy số hạng cần tìm là tổng của :[TEX]C_9^k(-1)^kC_k^i2^{k-i}[/TEX]với các cặp như trên
Nhận xét :thường thi loại này ít gặp trường hợp (k,i) là (0,0) nên đa số chúng ta nghĩ rằng không chọn cặp này vì ít thấy[TEX] C_0^0[/TEX] nhưng điều kiện tồn tại cùa [TEX]C_n^k[/TEX] đã chỉ ra rằng [TEX]n=0[/TEX] vẫn ok



Cho em hỏi tại sao trong vd3 không phải là (-1)[TEX]^[n-k][/TEX] mà chỉ là (-1)[TEX]^k[/TEX] thôi

 

[thienthan1262]

Các bài luyện tập :
1)Tìm các giá trị của x sao cho trong tổng khai triển của [TEX]\huge{(\sqrt{2^x}+\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}})^n[/TEX] có tổng số hạng thứ [TEX]3[/TEX] và thứ [TEX]5[/TEX] là [TEX]135[/TEX] còn các hệ số của 3 số hạng cuối trong khai triển đó có tổng là [TEX]22[/TEX] (n nguyên đương)

em giải thử anh kimxakiem coi đúng không nha
[TEX]C_n^k+C_n^{n-1}+C_n^{n-2}=22[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow2+2n+n^2-n-44=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\left[\begin{n=6(nhận)}\\{n=-7(loai)}[/TEX]

Biểu thức:

[TEX] \sum_{k=0}^6 C_6^k 2^{3x-kx+\frac{k}{2}[/TEX]

Số hạng thứ 3 và thứ 5 có tổng 135:
[TEX]C_6^2.2^{3x-2x+1}+C_6^4.2^{3x-4x+2}=135\Rightarrow x=2[/TEX]

 

[phamduyquoc0906]

VÍ DỤ 3: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :[TEX]\huge{(1-2x-\frac{1}{x^2})^9[/TEX]
[TEX]\huge{(1-2x-\frac{1}{x^2})^9=[1-(2x+x^{-2}]^9=\sum_{k=0}^9 C_9^k(-1)^k(2x+x^{-2})^k=\sum_{k=0}^9 C_9^k(-1)^k[\sum_{i=0}^k C_k^i(2x)^{k-i}(x^{-2})^i][/TEX][TEX]\huge{=\sum_{k=0}^9 C_9^k(-1)^k[\sum_{i=0}^k C_k^i2^{k-i}x^{k-3i}][/TEX]
Số hạng không chứa x tương ứng với [TEX]\left{k-3i=0\\0\le{i}\le{k}\le{9}\\i,k\in{Z^*}[/TEX][TEX]\Rightarrow{0\le{3i}\le9\Leftrightarrow{0\le{i}\le3[/TEX] vậy ta có các cặp [TEX](k,i) : (0,0)(3,1)(6,2)(9,3)[/TEX]
Vậy số hạng cần tìm là tổng của :[TEX]C_9^k(-1)^kC_k^i2^{k-i}[/TEX]với các cặp như trên
Nhận xét :thường thi loại này ít gặp trường hợp (k,i) là (0,0) nên đa số chúng ta nghĩ rằng không chọn cặp này vì ít thấy[TEX] C_0^0[/TEX] nhưng điều kiện tồn tại cùa [TEX]C_n^k[/TEX] đã chỉ ra rằng [TEX]n=0[/TEX] vẫn ok



Cho em hỏi tại sao trong vd3 không phải là[TEX] (-1)^{n-k}[/TEX] mà chỉ là [TEX](-1)^k[/TEX] thôi

[TEX]\huge{(1-2x-\frac{1}{x^2})^9=[1-(2x+x^{-2})]^9=\sum_{k=0}^9 C_9^k\ 1^{9-k}[-(2x+x^{-2})]^k=\sum_{k=0}^9 C_9^k(-1)^k(2x+x^{-2})^k[/TEX]

 

[acsimet_91]

Trong một môn học có 30 câu hỏi khác nhau : 5 câu khó, 10 câu TB, 15 câu dễ. Từ 30 câu đó hỏi có thể lập được bao nhiêu đề KT, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong 1 đề cần thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và câu hỏi dễ không ít hơn 2.

chia thành 3 trường hợp:
-Trường hợp 1:có 2 câu hỏi dễ
Số cách là 15C2*(15C3 -2)
tương tự vói trường hợp có 3,4 câu hỏi dễ
vây tổng số cách là 15C2*(15C3-2)+15C3*(15C2-2)+15C4*(15C1-2)=112175(cách)

 

[acsimet_91]

Từ 5 chữ sô 0,1,3,5,7 có thể lập được bao nhiêu chữ số có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho5


Số cách chọn chữ xố hàng đơn vị :3 cach
.........................................chục :4 cách
.........................................trăm:3cách
.........................................nghìn:1cach
số các số là:3.4.3.1=36(số)

 

[dalicecold]

Trong một môn học có 30 câu hỏi khác nhau : 5 câu khó, 10 câu TB, 15 câu dễ. Từ 30 câu đó hỏi có thể lập được bao nhiêu đề KT, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong 1 đề cần thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và câu hỏi dễ không ít hơn 2.

Chia làm 3 th
Th1: Có 2 câu dễ : 15C2 cách
Có 1 câu Tb : 10C1 cách
Có 2 câu khó: 5C2 cách
=> Theo qt nhân : 15C2 x 10C1 x 5C2=10500cách

Th2 : Có 2 câu dễ : 15C2 cách
Có 2 câu tb: 10 C2 cách
có 1 câu khó : 5C1 cách
=>.....15C2 x 10C2 x 5C1 =23625 cách
TH3: Có 3 câu dễ: 15C3 cách
Có 1 câu tb: 10 C1 cách
có 1 câu khó : 5C1 cách
=>..........15C3 x 10C1 x 5C1=22750 cách
Kq : 56875 cách :-S

 

[taito741]

Số hạng không chứa x tương ứng với [TEX]\left{k-3i=0\\0\le{i}\le{k}\le{9}\\i,k\in{Z^*}[/TEX][TEX]\Rightarrow{0\le{3i}\le9\Leftrightarrow{0\le{i}\le3[/TEX] vậy ta có các cặp [TEX](k,i) : (0,0)(3,1)(6,2)(9,3)[/TEX]
Vậy số hạng cần tìm là tổng của :[TEX]C_9^k(-1)^kC_k^i2^{k-i}[/TEX]với các cặp như trên
Nhận xét :thường thi loại này ít gặp trường hợp (k,i) là (0,0) nên đa số chúng ta nghĩ rằng không chọn cặp này vì ít thấy[TEX] C_0^0[/TEX] nhưng điều kiện tồn tại cùa [TEX]C_n^k[/TEX] đã chỉ ra rằng [TEX]n=0[/TEX] vẫn ok

cho e hỏi là sao i,k thuộc Z* mà vẫn lấy (i,k) la (0,0).