ôn BĐT vào lớp 10

K

kukumalu_2010

son_9f_ltv said:
hjx!!sau 1 tuần bận thi cử nên mình chưa có time để post bài,h mình sẽ post tiếp!!

[TEX]5)min..Q=\frac{1}{2}(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2})+\frac{1}{4}(x^{16}+y^{16})-(1+x^2y^2)^2[/TEX] (đề thi tuyển vào lớp 10 chuyên toán ĐHKHTN,ĐHQG Hà Nội năm 2004-2005,vòng 1

P/S ai có bài nào post lên cho mọi ng` cùng làm nha!!!thank!
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
bài 5 nèk

Vs đk [TEX] x\neq 0[/TEX],[TEX] y\neq 0[/TEX], thì [TEX]x^2,y^2[/TEX]>0,[TEX]x^{10},y^{10}[/TEX]>0 và [TEX]x^{16},y^{16}[/TEX]>0
Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số dương :
[tex]\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}+1+1\geq 4x^2.y^2[/tex]
\Rightarrow[TEX]\frac{1}{2}(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}) \geq2.x^2.y^2-1[/TEX]
Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số dương :
[TEX]x^{16+}y^{16}+1+1\geq4.\sqrt[4]{x^{16}.y^{16}}=4.x^4.y^4[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{1}{4}(x^{16}+y^{16}) \geq x^4.y^4 - \frac{1}{2} [/TEX]
\Rightarrow[TEX]Q=\frac{1}{2}(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2})+\frac{1}{4}(x^{16}+y^{16})-(1+x^2y^2)^2\geq2x^2y^2-1+x^4y^4-\frac{1}{2}-1-2x^2y^2-x^4y^4=\frac{-5}{2}[/TEX]
Dấu đẳng thức xảy ra khi [tex]\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^{10}}{y^2}=\frac{y^{10}}{x^2}=1 \\ x^{16}=y^{16}=1 \end{array} \right.[/tex]\Leftrightarrow[TEX]x^2=y^2=1[/TEX]
Vậy Min Q=[TEX]\frac{-5}{2} \Leftrightarrow (x;y) \in {(1;1),(-1;-1),(1;-1),(-1;1)}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
K

kukumalu_2010

son_9f_ltv said:
hjx!!sau 1 tuần bận thi cử nên mình chưa có time để post bài,h mình sẽ post tiếp!!
[TEX]2)x\ge 1....y\ge 1.....CM......\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \ge \frac{2}{1+xy}[/TEX]

P/S ai có bài nào post lên cho mọi ng` cùng làm nha!!!thank!
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
pài 2 nèk
Ta có : [TEX] \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \ge \frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow \frac{x^2+y^2}{x^2y^2}\geq\frac{2}{1+xy} \Leftrightarrow (x^2+y^2)(1+xy) \geq 2x^2y^2[/TEX](do x \geq 1....y \geq 1.....)
Ta có[TEX](x^2+y^2)(1+2xy) \geq 2xy(1+xy)=2x^2y^2+2xy\geq2x^2y^2[/TEX]
\Rightarrowđfcm

hok pjk có đúg k ????
 
Last edited by a moderator:
K

kukumalu_2010

son_9f_ltv said:
hjx!!sau 1 tuần bận thi cử nên mình chưa có time để post bài,h mình sẽ post tiếp!!

[TEX]1)x,y,z>0...x+y+z=1...CM.......\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}>14[/TEX]

P/S ai có bài nào post lên cho mọi ng` cùng làm nha!!!thank!
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Ta có : a+b+c =1 \Rightarrow [TEX]a^2 +b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1\Rightarrow2(ab+bc+ca)=1-(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2} = \frac{6}{2(xy+yz+zx)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{1-(x^2+y^2+c^2)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}[/TEX]
Đặt [TEX]x^2+y^2+c^2=a ( a\geq0 ...)[/TEX]
Khi đó VT =[TEX]\frac{6}{1-a}+\frac{2}{a} [/TEX]
Ta dễ dàng CM được [TEX]\frac{6}{1-a}+\frac{2}{a} >14 [/TEX] vs \foralla
\Rightarrow đfcm
 
P

puu

kukumalu_2010 said:
bài 5 nèk

Vs đk [TEX] x\neq 0[/TEX],[TEX] y\neq 0[/TEX], thì [TEX]x^2,y^2[/TEX]>0,[TEX]x^{10},y^{10}[/TEX]>0 và [TEX]x^{16},y^{16}[/TEX]>0
Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số dương :
[tex]\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}+1+1\geq2.x^2.y^2[/tex]
\Rightarrow[TEX]\frac{1}{2}(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}) \geq2.x^2.y^2-1[/TEX]
bạn sai rui
[tex]\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}+1+1\geq2.x^2.y^2[/tex]
\Rightarrow[TEX]\frac{1}{2}(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}) \geq x^2.y^2-1[/TEX]
đáng ra là phải vậy
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
 
S

son_9f_ltv

kukumalu_2010 said:
Ta có : a+b+c =1 \Rightarrow [TEX]a^2 +b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1\Rightarrow2(ab+bc+ca)=1-(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2} = \frac{6}{2(xy+yz+zx)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{1-(x^2+y^2+c^2)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

đến đây bạn có thể áp dụng trực tiếp BĐT [TEX]Svac-so[/TEX]

!!
 
K

kukumalu_2010

mìk có mấy pài nì nữa nèk,,,,,,,,,,,,,,,,,,
1) tìm Max của y=[TEX]x+\sqrt{2(1-x)}[/TEX] vs 0\leq x\leq 1
2) Giả sử a;b là các số nguyên dương t/m [tex]\frac{ab+1}{a+b}\leq \frac{3}{2}[/tex].Tìm Max của P=[TEX]\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}[/TEX]
3) Cho các số thực k âm x,y,z đôi một khác nhau và t/mãn (z+x)(y+z)=1
CMR: [TEX]\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(z+y)^2} \geq 4[/TEX]
4)với các số a,b,c là các số thực dương t/m đk abc=1
CMR : [TEX]\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2} \geq \frac{1}{a+b+c} [/TEX]
 
Last edited by a moderator:
S

son_9f_ltv

kukumalu_2010 said:
3) Cho các số thực k âm x,y,z đôi một khác nhau và t/mãn (z+x)(y+z)=1
CMR: [TEX]\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(z+y)^2} \geq 4[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

đặt [TEX]x+z=a,,,,,,,,,,,,,,y+z=b[/TEX]

\Rightarrowab=1

\Rightarrow [TEX]PT[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge 4[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\frac{1}{a^2+b^2-2}+a^2+b^2-2-2\ge 0 [/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2-2}}+\sqrt{a^2+b^2-2})^2\ge 0[/TEX]

luôn đúng \Rightarrow[TEX]dpcm[/TEX]
 
C

changbg

kukumalu_2010 said:
mìk có mấy pài nì nữa nèk,,,,,,,,,,,,,,,,,,
1) tìm Max của y=[TEX]x+\sqrt{2(1-x)}[/TEX] vs 0\leq x\leq 1
2) Giả sử a;b là các số nguyên dương t/m [tex]\frac{ab+1}{a+b}\leq \frac{3}{2}[/tex].Tìm Max của P=[TEX]\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}[/TEX]
3) Cho các số thực k âm x,y,z đôi một khác nhau và t/mãn (z+x)(y+z)=1
CMR: [TEX]\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(z+y)^2} \geq 4[/TEX]
4)với các số a,b,c là các số thực dương t/m đk abc=1
CMR : [TEX]\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2} \geq \frac{1}{a+b+c} [/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
bài 2 có ai chém chưa nhở :
từ [tex]\frac{ab+1}{a+b}\leq \frac{3}{2}[/tex] [TEX]\Leftrightarrow2ab+2<3a+3b[/TEX]( vì a+b>0)
[TEX]\Leftrightarrow4ab+4-6a-6b<0\Leftrightarrow(2a-3)(2b-3)<5[/TEX] (1)
Vì [TEX]a,b\geq1[/TEX] nên [TEX]2a-3\geq-1; 2b-3\geq-1[/TEX]
_ Nếu a=1 hoặc b=1 thì P=1
_ Xét [TEX]a\geq2,b\geq2[/TEX] ta có [TEX]2a-3\geq1; 2b-3\geq1[/TEX]và cùng là số lẻ
từ (1) suy ra (2a-3)(2b-3) =1 hoặc (2a-3)(2b-3) = 3
** Nếu (2a-3)(2b-3)=1[TEX]\Rightarrow\left{\begin{2a-3=1}\\{2b-3=1}\Leftrightarrow\left{\begin{a=2}\\{b=2}[/TEX] khi đó [TEX]P=\frac{65}{16}[/TEX]
**Nếu (2a-3)(2b-3) =3
[TEX]\Rightarrow\left{\begin{2a-3=1}\\{2b-3=3}[/TEX] hoặc [TEX]\left{\begin{2a-3=3}\\{2b-3=1}[/TEX]
từ đó ta có a=2;b=3 hoặc a=3;b=2
[TEX]\Rightarrow P=\frac{31}{5}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
K

kukumalu_2010

kukumalu_2010 said:
mìk có mấy pài nì nữa nèk,,,,,,,,,,,,,,,,,,
1) tìm Max của y=[TEX]x+\sqrt{2(1-x)}[/TEX] vs 0\leq x\leq 1
2) Giả sử a;b là các số nguyên dương t/m [tex]\frac{ab+1}{a+b}\leq \frac{3}{2}[/tex].Tìm Max của P=[TEX]\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}[/TEX]
3) Cho các số thực k âm x,y,z đôi một khác nhau và t/mãn (z+x)(y+z)=1
CMR: [TEX]\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(z+y)^2} \geq 4[/TEX]
4)với các số a,b,c là các số thực dương t/m đk abc=1
CMR : [TEX]\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2} \geq \frac{1}{a+b+c} [/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
pài 4 nèk....hjk .........
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz (Bunhiacopxki) ta có:
[TEX][\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2}](a+b+c)\geq[\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}]^2[/TEX]
Do abc=1 nên [TEX]\frac{b}{bc+b+1}=\frac{ab}{abc+ab+a}=\frac{ab}{1+a+ab}[/TEX]
[TEX]\frac{c}{ac+c+1}=\frac{abc}{a^2bc+abc+ab}=\frac{1}{1+a+ab}[/TEX]
Suy ra [TEX]\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=1[/TEX]
Do đó [TEX][\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2}](a+b+c)\geq1[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2} \geq \frac{1}{a+b+c} [/TEX](đfcm)
 
Last edited by a moderator:
P

puu

ngojsaoleloj8814974 said:
Cái bài 1 hình như bn ghi thiếu ĐK rồi

bài 3,
[TEX]A=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}(1)[/TEX]

Đặt b+c-a=2x; a+c-b=2y; a+b-c=2z:
[TEX](1)\Rightarrow A=\frac{4y+4z}{2x}+\frac{9z+9x}{2y}+\frac{16x+16y}{2z}[/TEX]
[TEX]=\frac{2y}{x}+\frac{2z}{x}+\frac{9z}{2y}+\frac{9x}{2y}+\frac{8x}{z}+\frac{8y}{z}[/TEX]
[TEX]=(\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y})+(\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z})+(\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{2z})[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A \geq 6+8+12=26[/TEX] (Theo BĐT cô si )
Dấu "=" xảy ra khi 3z=4y=6x
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
cái bài này giải hay quá
thank //////////////////////////////////////
 
Last edited by a moderator:
P

puu

[TEX]2)x\ge 1....y\ge 1.....CM......\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \ge \frac{2}{1+xy}[/TEX]

[TEX]4)x\in R ,x^2+(3-x)^2\ge 5[/TEX]

[TEX]min........... P=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2[/TEX]
chém kon 4
Đặt y=3-x. bài toán trở thành tìm min của P=[TEX]x^4+y^4+6x^2y^2[/TEX]
trong đó:[TEX]\left{\begin{x+y=3}\\{x^2+y^2\geq5}[/TEX]
ta có: [TEX]x^2+y^2+4(x^2+y^2+2xy)\geq 5+4.9=41[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]5(x^2+y^2)+4.2xy\geq 41[/TEX]
ta lại có: [TEX]16(x^2+y^2)^2+25(2xy)^2\geq2.4.5.(x^2+y^2).2xy[/TEX] (1)
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow[TEX]4(x^2+y^2)=5.(2xy)[/TEX]
cộng hai vế của (1) với [TEX]25(x^2+y^2)^2+16.(2xy)[/TEX].ta có
[TEX]41[(x^2+y^2)^2+(2xy)^2]\geq 25(x^2+y^2)^2+16.(2xy)^2+2.4.5.(x^2+y^2).2xy[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]41[(x^2+y^2)^2+(2xy)^2]\geq [5(x^2+y^2)+4(2xy)]^2\geq 41^2[/TEX]
hay [TEX](x^2+y^2)^2+(2xy)^2\geq 41[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^4+y^4+6x^2y^2\geq 41[/TEX]
dấu = \Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{x+y=3}\\{x^2+y^2=5}\\{4(x^2+y^2)=5(2xy)[/TEX]
\Leftrightarrowx=1 hoặc x=2
còn câu trên mình nghĩ thiếu đề
bạn coi lại cái đề
 
P

puu

cái câu 2 mình nghĩ đè như sau:
x\geq1; y\geq1. CM:[TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq \frac{2}{1+xy}[/TEX]
BDT\Leftrightarrow[TEX]\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{1+xy-x^2-1}{(1+x^2)(1+xy)}+\frac{1+xy-1-y^2}{(1+y^2)(1+xy)\geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{x(y-x)}{(1+x^2)(1+xy)}+\frac{y(x-y)}{(1+y^2)(1+xy)}\geq0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x(y-x)(1+y^2)-y(y-x)(1+x^2)\geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x-y)[-x(1+y^2)+y(1+x^2)]\geq0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x-y)(x-y)(xy-1)\geq0[/TEX]
[TEX](x-y)^2.(xy-1)\geq o[/TEX] (*)
(*) luôn đúng vì (x-y)^2\geq0; xy-1\geq0 ( do x\geq1; y\geq1)
không bít cái đề có phải như vậy không nhẩy
 
P

puu

xin đưa vài cái đề cho các bạn cùng chém nầy
câu 1: cho x;y;z>o thỏa mãn x(x+y+z)=3xyz. CM
[TEX](x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(x+z)(y+z)\leq 5(y+z)^3[/TEX]
Câu 2: cho [TEX]\left{\begin{a,b,c>0}\\{a+b+c=1}[/TEX]
CM: [TEX]\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq\frac{9}{4}[/TEX]
Câu 3: cho [TEX]\left{\begin{a,b,c>0}\\{a+b+c=1}[/TEX]
CM: [TEX]\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}} +\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}[/TEX]\leq 1/2
làm đc thì thank nhìu nhìu!
 
Last edited by a moderator:
B

bigbang195

puu said:
xin đưa vài cái đề cho các bạn cùng chém nầy
[[/B]
Câu 2: cho [TEX]\left{\begin{a,b,c>0}\\{a+b+c=1}[/TEX]
CM: [TEX]\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq\frac{9}{4}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

gif.latex
 
Q

quyenuy0241

puu said:
xin đưa vài cái đề cho các bạn cùng chém nầy

Câu 2: cho [TEX]\left{\begin{a,b,c>0}\\{a+b+c=1}[/TEX]
CM: [TEX]\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq\frac{9}{4}[/TEX]
Câu 3: cho [TEX]\left{\begin{a,b,c>0}\\{a+b+c=1}[/TEX]
CM: [TEX]\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}} +\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}[/TEX]\leq 1/2
làm đc thì thank nhìu nhìu!
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Đề thi đại học không cần chữa ! Nhìu tài liệu viết rồi :D:D:D
Câu 2 :[tex]\frac{a}{(b+c)^2}=\frac{a(a+b+c)}{(b+c)^2}=\frac{a^2}{(b+c)^2}+\frac{a}{b+c}[/tex]

[tex]\sum{\frac{a^2}{(b+c)^2} \ge \frac{1}{3}.(\sum{\frac{a}{b+c}})^2 \ge \frac{3}{4}[/tex]

[tex]\sum{\frac{a}{b+c}} \ge \frac{3}{2}[/tex] Nesbit [tex]\fbox{Done !!}[/tex]


Câu 3

Thế a+b+c=1

[tex] \frac{ab}{\sqrt{c+ab}} =\frac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}} \le \frac{1}{2}.(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}[/tex]

Tương tự ta có các BDT khác !

Cộng các BDT đó với nhau suy ra[tex] Vt \le \frac{1}{2}.(a+b+c)=1/2[/tex] [tex] \fbox{Done!!}[/tex]
 
Last edited by a moderator:
K

kukumalu_2010

mìk có bài nì nèk,,,,,,,,,,,,,,,júp mìk nhá...........
CMR: Với a,b,c>0..... thoả mãn [TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 3\sqrt{2}[/TEX]
thì [TEX]\sqrt[3]{{a^2}+\frac{1}{b^2}}+\sqrt[3]{{b^2}+\frac{1}{c^2}}+\sqrt[3]{{c^2}+\frac{1}{a^2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{17}{4}}[/TEX]
mìk chỉ pjk bài ni áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz thui...............
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom