Toán 10 Xét tính biến thiên của $y = \dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}$

[Thùy Linh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Xét tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
[tex]y=\frac{x²+x+1}{x²+1}[/tex] khi x[tex]\epsilon[/tex] (-1;1)

 

[iceghost]

Do $y - 1 = \dfrac{x}{x^2+1}$ nên ta chỉ cần xét tính biến thiên của $f(x) =\dfrac{x}{x^2+1}$ là đủ
TXĐ $D = \mathbb{R}$
$\forall x_1, x_2 \in (-1,1)$ và $x_1 \ne x_2$
$f(x_1) - f(x_2) = \dfrac{x_1}{x_1^2+1} - \dfrac{x_2}{x_2^2+1} = \dfrac{(1-x_1x_2)(x_1 -x_2)}{(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)}$
$\implies \dfrac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} = \dfrac{1 - x_1x_2}{(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)}$
Do $x_1, x_2\in (-1,1)$ nên $(x_1 - 1)(x_2 + 1) < 0$ và $(x_1 + 1)(x_2 - 1) < 0$
$\implies x_1x_2 + x_1 - x_2 - 1 < 0$ và $x_1x_2 - x_1 + x_2 - 1 < 0$
Cộng vế theo vế ta có $2x_1x_2 - 2 < 0 \implies 1 - x_1x_2 > 0$
$\implies \dfrac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 -x_2} > 0$
Do đó $f(x)$ đồng biến $\implies y$ đồng biến