Toán 10 Xét dấu hàm số bằng trục xét dấu

Trong SGK thì có 1 cách để xét dấu của 1 hàm f(x) cho trước, đó là dùng bảng. Tuy nhiên khi f(x) có thể phân tích thành nhiều nhân tử ( f(x) có nhiều nghiệm ). Thì việc đưa vào bảng là cồng kềnh, không hợp lí. Vậy mình sẽ trình bày cách dùng trục xét dấu để giải và bản chất của nó.

Đây là các bước làm:
Bước 1: Phân tích f(x) thành nhân tử, từ nhân tử phân tích được, ta tìm xem đâu là nghiệm đơn, đâu là nghiệm kép. Nghiệm đơn là nghiệm có dạng [TEX](x-a)^n[/TEX], với a là số thực bất kì, n là số tự nhiên lẻ (1,3,5....). Còn nghiệm kép thì n là số tự nhiên chẵn (2,4,6....)

Bước 2: Đưa các nghiệm đơn vừa tìm ở bước 1 lên trục số. Trong trường hợp f(x) là phân thức, thì nghiệm của mẫu số cũng đưa vào.

Bước 3: Xét dấu 1 khoảng bất kì bằng cách thay thử 1 giá trị x trong khoảng đó. Thông thường là chọn khoảng (a;+oo), với a là nghiệm lớn nhất của f(x).

Bước 4: Từ dấu 1 khoảng đã xét ở bước 3, ta xét dấu của f(x) trên R. Cứ qua 1 nghiệm ĐƠN, thì dấu f(x) sẽ đổi so với khoảng liền ngay trước nó. Còn qua nghiệm kép, thì dấu f(x) giữ nguyên.

Ví dụ :

1. Xét dấu của f(x)=[TEX](x-1)(x-2)(x-3)[/TEX]

Giải: [TEX]f(x)=0[/TEX] có 3 nghiệm x=1,x=2,x=3, cả 3 nghiệm này đều là nghiệm đơn.

Ta đưa lên trục như sau:
x | -oo 1 2 3 +oo
Chọn xét khoảng (3;+oo). Ta thử với x=10, có f(x)=9.8.7>0. Vậy khoảng (3;+oo) , f(x) có dấu "+"

Qua nghiệm 3 thì f(x) đổi dấu so với khoảng liền trước nó, tức từ "+" đổi thành "-"

Qua nghiệm 2 thì f(x) đổi dấu so với khoảng liền trước nó ( là (2;3) ), vậy từ "-" đổi thành "+"

Qua nghiệm 1 thì f(x) đổi dấu từ "+" thành "-"

Kết quả ta có trục xét dấu như sau:
x | -oo - 1 + 2 - 3 + +oo

Như vậy f(x)>0 trong các khoảng (1;2), (3;+oo), f(x) < 0 trong các khoảng (-oo;1) , (2;3)

* Giải thích cụ thể: Khi ta qua 1 nghiệm bất kì, thì rõ ràng dấu của các nhân tử còn lại không đổi. Ví dụ qua nghiệm x=3, thì các nhân tử (x-1),(x-2) không bị ảnh hưởng bởi dấu. Chỉ có (x-3) bị ảnh hưởng mà thôi. Và dấu của (x-3) bị đổi, trong khi dấu của các nhân tử còn lại giữ nguyên. Vậy rõ ràng dấu của f(x) sẽ bị đổi theo, vì f(x) là 1 tích, 1 nhân tử mà đổi dấu => tích hiển nhiên đổi dấu.
Tương tự khi qua các điểm nghiệm x=2, x=1.

Còn khi qua nghiệm kép, thì tại sao lại giữ nguyên dấu. Đó là vì, các nhân tử khác rõ ràng vẫn là không đổi dấu rồi, còn bản thân nhân tử chứa nghiệm kép, dấu của nó vẫn luôn là "+", không thể đổi được ( ví dụ [TEX](x-a)^2[/TEX] thì nó luôn không âm ). Do đó toàn bộ nhân tử của f(x) không có cái nào đổi dấu => dấu f(x) vẫn giữ nguyên.

2. Xét dấu của : [tex]f(x)=\frac{(x^2-3x+2)(x^2-7x+12)^2}{(x^2-11x+30)^3}[/tex]

Giải: thực hiện phân tích nhân tử tối ưu f(x):
[tex]f(x)=\frac{(x-1)(x-2)(x-3)^2(x-4)^2}{(x-5)^3(x-6)^3}[/tex]

Ta có f(x) có 6 nghiệm tính cả tử và mẫu, trong đó nghiệm x=3, x=4 là nghiệm kép. Đưa lên trục xét dấu:

x| -oo 1 2 3 4 5 6 +oo

Xét trong khoảng (6;+oo), thử với x=10, dễ thấy f(x) mang dấu "+".

Sử dụng quy tắc đan dấu đã nêu, ta xét được dấu của f(x), dấu f(x) sẽ giữ nguyên với khoảng trước đó, khi nó qua nghiệm x=4, x=3

x| -oo + 1 - 2 + 3 + 4 + 5 - 6 + +oo

Vậy f(x)<0 trên các khoảng (1;2), (5;6), f(x)>0 trên các khoảng còn lại