Toán 12 Xác định mức sản lượng

[baochau1112]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm. Gọi [tex]Q_i, p_i[/tex] là sản lượng và giá của sản phẩm thứ $i$, $(i=1,2)$ Biết rằng hàm tổng chi phí là: [tex]TC=4Q_1^2+5Q_1Q_2+2Q_2^2+15[/tex]. Hãy xác định mức sản lượng kết hợp $(Q_1,Q_2)$ sao cho doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa, biết rằng giá thị trường của các sản phẩm là $p_1=310$, $p_2=220$

P/s: Đây là toán cao cấp có ứng dụng tích phân ạ :< Ai biết giúp mình với ạ ^^

 

[baochau1112]

@Tạ Đặng Vĩnh Phúc Giúp em vớiiiiiiiiii

 

[Cá Rán Tập Bơi]

ta có [tex]Lợi\; Nhuận=Tổng\: Thu-Tổng\: Chi\: Phí[/tex], trong đó [tex]Tổng\: Thu=\sum Q_{i}.p_{i}[/tex]
vậy hàm lợi nhuận được biểu diễn qua 2 biến [tex]Q_{1},Q_{2}[/tex] như sau:
[tex]z(Q_{1},Q_{2})=Q_{1}.p_{1}+Q_{2}.p_{2}-(4Q_{1}^{2}+5Q_{1}Q_{2}+2Q_{2}^{2}+15)[/tex] [tex]=310Q_{1}+220Q_{2}-4Q_{1}^{2}-5Q_{1}Q_{2}-2Q_{2}^{2}-15[/tex]
thực ra mình ko biết trong toán kinh tế hàm lợi nhuận được kí hiệu thế nào đâu, nên mình sử dụng kí hiệu hàm z quen thuộc của vi phân nhiều biến trong toán cao cấp thôi, bạn cứ thay nó bằng kí hiệu quen thuộc là được

việc ta cần làm bây giờ chỉ đơn giản là tìm cực trị tự do của hàm 2 biến [tex]z(Q_{1},Q_{2})[/tex]
ta có
[tex]z_{Q_{1}}^{'}=310-8Q_{1}-5Q_{2}[/tex]
[tex]z_{Q_{2}}^{'}=220-5Q_{1}-4Q_{2}[/tex]
được hệ pt [tex]\left\{\begin{matrix} z_{Q_{1}}^{'}=0 & \\ z_{Q_{2}}^{'}=0 & \end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8Q_{1}+5Q_{2}=310 & \\ 5Q_{1}+4Q_{2}=220 & \end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} Q_{1}=20 & \\ Q_{2}=30& \end{matrix}\right.[/tex]

đây là điểm dừng duy nhất của hàm z nên thực ra có thể kết luận nó là cặp giá trị cần tìm được rồi, nhưng để chặt chẽ hoàn toàn thì ta tính thêm biệt thức [tex]\Delta[/tex]:
[tex]\left\{\begin{matrix} A=z_{Q_{1}Q_{1}}^{''}=-8 & \\ B=z_{Q_{1}Q_{2}}^{''}=-5& \\ C=z_{Q_{2}Q_{2}}^{''}=-4& \end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A=-8<0 & \\ \Delta =B^{2}-AC=-7<0& \end{matrix}\right.\Rightarrow[/tex] [tex]z(Q_{1},Q_{2})[/tex] đạt cực đại tại [tex](Q_{1},Q_{2})=(20,30)[/tex] hay doanh nghiệp sẽ đạt lợi nhuân tối đa tại mức kết hợp sản phẩm [tex](Q_{1},Q_{2})=(20,30)[/tex]