ta có [tex]Lợi\; Nhuận=Tổng\: Thu-Tổng\: Chi\: Phí[/tex], trong đó [tex]Tổng\: Thu=\sum Q_{i}.p_{i}[/tex]
vậy hàm lợi nhuận được biểu diễn qua 2 biến [tex]Q_{1},Q_{2}[/tex] như sau:
[tex]z(Q_{1},Q_{2})=Q_{1}.p_{1}+Q_{2}.p_{2}-(4Q_{1}^{2}+5Q_{1}Q_{2}+2Q_{2}^{2}+15)[/tex] [tex]=310Q_{1}+220Q_{2}-4Q_{1}^{2}-5Q_{1}Q_{2}-2Q_{2}^{2}-15[/tex]
thực ra mình ko biết trong toán kinh tế hàm lợi nhuận được kí hiệu thế nào đâu, nên mình sử dụng kí hiệu hàm z quen thuộc của vi phân nhiều biến trong toán cao cấp thôi, bạn cứ thay nó bằng kí hiệu quen thuộc là được
việc ta cần làm bây giờ chỉ đơn giản là tìm cực trị tự do của hàm 2 biến [tex]z(Q_{1},Q_{2})[/tex]
ta có
[tex]z_{Q_{1}}^{'}=310-8Q_{1}-5Q_{2}[/tex]
[tex]z_{Q_{2}}^{'}=220-5Q_{1}-4Q_{2}[/tex]
được hệ pt [tex]\left\{\begin{matrix} z_{Q_{1}}^{'}=0 & \\ z_{Q_{2}}^{'}=0 & \end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8Q_{1}+5Q_{2}=310 & \\ 5Q_{1}+4Q_{2}=220 & \end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} Q_{1}=20 & \\ Q_{2}=30& \end{matrix}\right.[/tex]
đây là điểm dừng duy nhất của hàm z nên thực ra có thể kết luận nó là cặp giá trị cần tìm được rồi, nhưng để chặt chẽ hoàn toàn thì ta tính thêm biệt thức [tex]\Delta[/tex]:
[tex]\left\{\begin{matrix} A=z_{Q_{1}Q_{1}}^{''}=-8 & \\ B=z_{Q_{1}Q_{2}}^{''}=-5& \\ C=z_{Q_{2}Q_{2}}^{''}=-4& \end{matrix}\right.[/tex] [tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A=-8<0 & \\ \Delta =B^{2}-AC=-7<0& \end{matrix}\right.\Rightarrow[/tex] [tex]z(Q_{1},Q_{2})[/tex] đạt cực đại tại [tex](Q_{1},Q_{2})=(20,30)[/tex] hay doanh nghiệp sẽ đạt lợi nhuân tối đa tại mức kết hợp sản phẩm [tex](Q_{1},Q_{2})=(20,30)[/tex]