- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
* Dạng toán: Đề cho dữ kiện về các vecto [tex]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},...[/tex] , yêu cầu tính : [tex]|k.\overrightarrow{a}+u.\overrightarrow{b}+...|[/tex]
* Cách làm: ta thực hiện bình phương biểu thức cần tính: [tex](\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+..)^2[/tex] , sau đó tận dụng các giả thiết của đề để tính. Cuối cùng là khai căn để lấy kết quả.
* Công thức cần nhớ:
[tex]\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a.b.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})[/tex] .
[TEX]\overrightarrow{a}^2=a^2[/TEX]
[TEX]|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=a+b[/TEX] ( nếu [TEX]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/TEX] cùng hướng).
[TEX]|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=|a-b|[/TEX] ( nếu [TEX]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/TEX] ngược hướng).
Ví dụ:
1. Cho tam giác ABC vuông tại B. AB=3cm, AC=5cm. Tính [tex]P=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|[/tex].
Giải: ta có: [tex]P^2=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})^2=AB^2+AC^2+2AB.AC.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})[/tex]
[TEX]=34+30.cosA[/TEX]
Do ABC vuông tại B nên [TEX]cosA=AB/AC=3/5[/TEX]
=>[TEX]P^2=34+30.3/5=52[/TEX]=> [tex]P=2\sqrt{13}[/tex]
2. Cho 2 vecto [tex]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/tex] thỏa mãn [TEX]|\overrightarrow{a}|=2[/TEX], [TEX]|\overrightarrow{b}|=5[/TEX], góc giữa chúng là [TEX]30^o[/TEX]. Tính [tex]P=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|[/tex]
Giải: Ta tách biểu thức cần tính thành 2 biểu thức nhỏ.
[tex]P_1=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=>P_1^2=a^2+b^2+2abcos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=29+20cos30^o=29+10\sqrt{3}[/tex]
=> [tex]P_1=\sqrt{29+10\sqrt{3}}[/tex]
[tex]P_2=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=>P_1^2=a^2+b^2-2abcos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=29-20cos30^o=29-10\sqrt{3}[/tex]
=>[tex]P_2=\sqrt{29-10\sqrt{3}}[/tex]
Vậy [TEX]P=\sqrt{29+10\sqrt{3}}+\sqrt{29-10\sqrt{3}}[/TEX]
3. Cho hình thang ABCD có 2 đáy là AB và CD. AB=4, CD=5. Tính [tex]P=|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|[/tex] với M là trung điểm AD.
Giải: Ở bài này ta thấy, nếu bình phương P thì không thể giải được, vì độ dài MB, MC chưa có, và cũng không có vẻ sẽ tính được với dữ kiên của đề.
Từ đây, ta cố gắng biến đổi bằng phép biến đổi vecto, sao cho vecto AB, CD xuất hiện, như vậy mới dùng được giả thiết. Ta có: [tex]P=|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}|[/tex]
(Bởi vì M là trung điểm AD nên ta có: [TEX]\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}[/TEX])
=>P=AB+CD=9.
Nhận xét: nếu trong biểu thức yêu cầu tính có chứa các vecto mà không có trong giả thiết, thì ta phải sử dụng các phép biến đổi vecto ( chèn điểm..) để đưa tất cả về vecto giả thiết đã cho. Rồi sau đó mới tính tiếp. Có một lưu ý khi chèn điểm, đó là chèn càng ít điểm thì càng tốt.
4. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 1. Gọi M là 1 điểm bất kì trong tam giác. Tính giá trị của [tex]P=|\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}|[/tex]
Giải: Trong bài này, dữ kiện về các vecto mà ta có là [TEX]\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}[/TEX]. Độ dài của chúng đều là 1, và góc giữa từng cặp trong chúng là [TEX]60^o[/TEX].
Vậy ta sử dụng chèn điểm để đưa về các vecto này:
[tex]P=|(\overrightarrow{MA}-3(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB})+2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC})|=|2\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}|[/tex]
=>[tex]P^2=4AC^2+9AB^2-12.AB.AC.cosA=13-12.cos60^o=7[/tex]
=>[tex]P=\sqrt{7}[/tex]
* Cách làm: ta thực hiện bình phương biểu thức cần tính: [tex](\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+..)^2[/tex] , sau đó tận dụng các giả thiết của đề để tính. Cuối cùng là khai căn để lấy kết quả.
* Công thức cần nhớ:
[tex]\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a.b.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})[/tex] .
[TEX]\overrightarrow{a}^2=a^2[/TEX]
[TEX]|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=a+b[/TEX] ( nếu [TEX]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/TEX] cùng hướng).
[TEX]|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=|a-b|[/TEX] ( nếu [TEX]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/TEX] ngược hướng).
Ví dụ:
1. Cho tam giác ABC vuông tại B. AB=3cm, AC=5cm. Tính [tex]P=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|[/tex].
Giải: ta có: [tex]P^2=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})^2=AB^2+AC^2+2AB.AC.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})[/tex]
[TEX]=34+30.cosA[/TEX]
Do ABC vuông tại B nên [TEX]cosA=AB/AC=3/5[/TEX]
=>[TEX]P^2=34+30.3/5=52[/TEX]=> [tex]P=2\sqrt{13}[/tex]
2. Cho 2 vecto [tex]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/tex] thỏa mãn [TEX]|\overrightarrow{a}|=2[/TEX], [TEX]|\overrightarrow{b}|=5[/TEX], góc giữa chúng là [TEX]30^o[/TEX]. Tính [tex]P=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|[/tex]
Giải: Ta tách biểu thức cần tính thành 2 biểu thức nhỏ.
[tex]P_1=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=>P_1^2=a^2+b^2+2abcos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=29+20cos30^o=29+10\sqrt{3}[/tex]
=> [tex]P_1=\sqrt{29+10\sqrt{3}}[/tex]
[tex]P_2=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=>P_1^2=a^2+b^2-2abcos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=29-20cos30^o=29-10\sqrt{3}[/tex]
=>[tex]P_2=\sqrt{29-10\sqrt{3}}[/tex]
Vậy [TEX]P=\sqrt{29+10\sqrt{3}}+\sqrt{29-10\sqrt{3}}[/TEX]
3. Cho hình thang ABCD có 2 đáy là AB và CD. AB=4, CD=5. Tính [tex]P=|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|[/tex] với M là trung điểm AD.
Giải: Ở bài này ta thấy, nếu bình phương P thì không thể giải được, vì độ dài MB, MC chưa có, và cũng không có vẻ sẽ tính được với dữ kiên của đề.
Từ đây, ta cố gắng biến đổi bằng phép biến đổi vecto, sao cho vecto AB, CD xuất hiện, như vậy mới dùng được giả thiết. Ta có: [tex]P=|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}|[/tex]
(Bởi vì M là trung điểm AD nên ta có: [TEX]\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}[/TEX])
=>P=AB+CD=9.
Nhận xét: nếu trong biểu thức yêu cầu tính có chứa các vecto mà không có trong giả thiết, thì ta phải sử dụng các phép biến đổi vecto ( chèn điểm..) để đưa tất cả về vecto giả thiết đã cho. Rồi sau đó mới tính tiếp. Có một lưu ý khi chèn điểm, đó là chèn càng ít điểm thì càng tốt.
4. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 1. Gọi M là 1 điểm bất kì trong tam giác. Tính giá trị của [tex]P=|\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}|[/tex]
Giải: Trong bài này, dữ kiện về các vecto mà ta có là [TEX]\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}[/TEX]. Độ dài của chúng đều là 1, và góc giữa từng cặp trong chúng là [TEX]60^o[/TEX].
Vậy ta sử dụng chèn điểm để đưa về các vecto này:
[tex]P=|(\overrightarrow{MA}-3(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB})+2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC})|=|2\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}|[/tex]
=>[tex]P^2=4AC^2+9AB^2-12.AB.AC.cosA=13-12.cos60^o=7[/tex]
=>[tex]P=\sqrt{7}[/tex]