Toán 12 Xác định bán kính mặt cầu nội tiếp khối chóp

Thảo luận trong 'Khối đa diện' bắt đầu bởi Tiến Phùng, 15 Tháng sáu 2019.

Lượt xem: 3,041

  1. Tiến Phùng

    Tiến Phùng Cựu Cố vấn Toán Thành viên

    Bài viết:
    3,742
    Điểm thành tích:
    561
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
    [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn học. Click ngay để nhận!


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Bài toán về mặt cầu ngoại tiếp khối chóp, đa diện, có thể nhiều bạn đã biết nhưng bài toán về mặt cầu nội tiếp thì ít người biết đến. Về cơ bản việc tìm tâm mặt cầu nội tiếp khó hơn rất nhiều. Nên việc xác định bán kính mặt cầu nội tiếp 1 khối chóp chúng ta sẽ xác định qua 1 công thức được chứng minh:

    Xét trường hợp riêng là 1 khối chóp tam giác(với các đa diện tứ giác cách chứng minh là tương tự...)

    upload_2019-6-15_1-35-22.png

    Ta có mặt cầu (E) nội tiếp khối chóp S.ABC. Ta kẻ các đường bán kính xuống các mặt bên và đáy, minh họa 2 đường bán kính EO và EF xuống mặt bên (SBC) và (ABC) như hình

    Ta có từ tâm E ta có thể chia khối chóp S.ABC thành 4 khối chóp: E.SAC ; E.SBC ; E. SAB ; E.ABC

    Vậy [TEX]V_{S.ABC}=V_{E.SAC}+V_{E.SBC}+V_{E.SAB}+V_{E.ABC}[/TEX]

    Mà [TEX]V_{E.SBC} = 1/3 . EF. S_{SBC}=1/3. r. S_{SBC}[/TEX]

    Với r là bán kính mặt cầu nội tiếp. Tương tự với 3 phần chóp còn lại. Vậy đặt nhân tử chung ta có:

    [TEX]V_{S.ABC}=1/3. r. (S_{SAB}+S_{SBC}+S_{SAC}+S_{ABC})= 1/3. r. S_{tp}[/TEX]

    [TEX]=>r=3V_{S.ABC} / S_{tp}[/TEX]

    Với [TEX]S_{tp}[/TEX] là diện tích toàn phần của khối chóp, tức ta tính tổng diện tích tất cả các mặt bên và đáy.

    Một cách tổng quát ta suy ra công thức tính bán kính r như sau:
    [tex]r=\frac{3.V_{chop}}{S_{tp}}[/tex]

    Các bạn chỉ cần nhớ công thức kết luận cuối cùng này. Nếu như gặp bài toán hình chóp có mặt cầu nội tiếp thì đó sẽ là chóp có các cạnh bên bằng nhau, các cạnh đáy bằng nhau. Như vậy việc tính S toàn phần sẽ rất nhanh.


    *Tính bán kính mặt cầu nội tiếp của hình chóp đều [TEX]S_{ABCD}[/TEX] có tất cả các cạnh bằng 1.

    Giải:
    4 mặt bên bằng nhau nên diện tích 4 mặt bên là:
    [tex]4.S_{SAB}=4.\frac{1}{2}.1.1.sin60=\sqrt{3}[/tex]

    Vậy [TEX]S_{tp} = \sqrt{3} +1 [/TEX]

    Ta có chiều cao SH=[tex]\frac{1}{\sqrt{2}}=>V_{SABCD}=\frac{1}{3}.\frac{1}{\sqrt{2}}.1=\frac{\sqrt{2}}{6}[/tex]

    Vậy bán kính cần tìm là:

    [tex]r=\frac{3.V_{SABCD}}{S_{tp}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}+1}[/tex] =[tex]\frac{\sqrt{2}}{2(\sqrt{3}+1)}[/tex]
     
  2. Kem Min

    Kem Min Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    91
    Điểm thành tích:
    144

    - Nếu như gặp dạng này thì chỉ cần cho khoảng cách từ đáy đến điểm thuộc đường cao hạ từ đỉnh = khoảng cách từ đỉnh đó đến 1 mặt bên bất kì là được mà :|
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY