- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. viêt phương trình tiếp tuyến của hàm số [tex]y=f(x)[/tex] mà f(x) cho bằng đẳng thức.
ví dụ: cho hàm số y=f(x) thõa mãn: [tex]f(x)+f^2(3-2x)=x^3-\frac{1}{x}[/tex]
Bước 1: [tex]y=f'(x_0).(x-x_0)+f(x_0)[/tex]. ta cần tìm [tex]f'(x_0)[/tex] và [tex]f(x_0)[/tex]
Bước 2: thay giá trị x hợp lý vào đẳng thức [tex]=>f(x_0)[/tex]
Bước 3: đạo hàm 2 vế đẳng thức đã cho, thay giá trị x hợp lý vào đẳng thức [tex]=>f'(x_0)[/tex]
một số bài toán ta cần giải hệ phương trình để tìm ra [tex]f(x_0)[/tex] và [tex]f'(x_0)[/tex]
2. ví dụ:
ví dụ 1: cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [tex]\mathbb{R}[/tex], thỏa mãn [tex]f(x)=2x.f(2x-1)+x^3,\forall x\in \mathbb{R}[/tex]. viết phương trình tiếp tuyến của y=f(x) tại điểm có [tex]x_M=1[/tex]
giải:
phương trình tiếp tuyến có dạng: [tex]y=f'(1).(x-1)+f(1)[/tex]
tìm f(1): thay x=1 vào đẳng thức, ta được: [tex]f(1)=2.f(1)+1<=>f(1)=-1[/tex]
tìm [tex]f'(-1)[/tex]:
đạo hàm 2 vế, ta có: [tex]f'(x)=2f(2x-1)+4x.f'(2x-1)+3x^2[/tex]
thay x=1 vào đẳng thức, ta được:
[tex]f'(1)=2f(1)+4.f'(1)+3<=>3f'(1)+1=0<=>f'(1)=\frac{-1}{3}[/tex]
vậy, phương trình tiếp tuyến có phương trình:
[tex]y=-\frac{1}{3}.(x-1)-1[/tex]
ví dụ 2: cho hàm số y=f(x) thỏa mãn [tex]f(2x)=4f(x).cosx-2x,\forall x\in \mathbb{R}[/tex]. viết phương trình tiếp tuyến của y=f(x) tại điểm có thọa độ [tex]x_M=0[/tex]
giải:
[tex]y=f'(0).(x)+f(0)[/tex]
tìm f(0): thay x=0 vào đẳng thức, ta được: [tex]f(0)=4.f(0).cos(0)-2.0<=>f(0)=4.f(0)<=>f(0)=0[/tex]
tìm [tex]f'(0)[/tex]: đạo hàm 2 vế, ta có: [tex]2f'(2x)=4.f'(x).cosx-4f(x).sinx-2[/tex]
thay x=0 vào đẳng thức, ta được: [tex]2.f'(0)=4.f'(0)-2<=>f'(0)=1[/tex]
phương trình tiếp tuyến có phương trình: [tex]y=x[/tex]
ví dụ 3: cho hàm số y=f(x) thỏa mãn [tex]f^2(1+2x)=x-f^3(1-x),\forall x\in \mathbb{R}[/tex]. viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có x=1.
giải:
phương trình tiếp tuyến có dạng: [tex]y=f'(1).(x-1)+f(1)[/tex]
tìm f(1): thay x=0 vào đẳng thức, ta được: [tex]f^2(1)=-f^3(1)<=>f(1)=0\vee f(1)=-1[/tex]
tìm f'(1): đạo hàm 2 vế, ta được: [tex]4.f'(1-2x).f(1-x)=1+3.f'(1-x).f^2(1-x)[/tex]
thay x=0, ta được: [tex]4.f'(1).f(1)=1+3.f'(1).f^2(1)[/tex]
với giá trị tìm được của f(1), ta tìm được f'(1). từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến.
ví dụ: cho hàm số y=f(x) thõa mãn: [tex]f(x)+f^2(3-2x)=x^3-\frac{1}{x}[/tex]
Bước 1: [tex]y=f'(x_0).(x-x_0)+f(x_0)[/tex]. ta cần tìm [tex]f'(x_0)[/tex] và [tex]f(x_0)[/tex]
Bước 2: thay giá trị x hợp lý vào đẳng thức [tex]=>f(x_0)[/tex]
Bước 3: đạo hàm 2 vế đẳng thức đã cho, thay giá trị x hợp lý vào đẳng thức [tex]=>f'(x_0)[/tex]
một số bài toán ta cần giải hệ phương trình để tìm ra [tex]f(x_0)[/tex] và [tex]f'(x_0)[/tex]
2. ví dụ:
ví dụ 1: cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [tex]\mathbb{R}[/tex], thỏa mãn [tex]f(x)=2x.f(2x-1)+x^3,\forall x\in \mathbb{R}[/tex]. viết phương trình tiếp tuyến của y=f(x) tại điểm có [tex]x_M=1[/tex]
giải:
phương trình tiếp tuyến có dạng: [tex]y=f'(1).(x-1)+f(1)[/tex]
tìm f(1): thay x=1 vào đẳng thức, ta được: [tex]f(1)=2.f(1)+1<=>f(1)=-1[/tex]
tìm [tex]f'(-1)[/tex]:
đạo hàm 2 vế, ta có: [tex]f'(x)=2f(2x-1)+4x.f'(2x-1)+3x^2[/tex]
thay x=1 vào đẳng thức, ta được:
[tex]f'(1)=2f(1)+4.f'(1)+3<=>3f'(1)+1=0<=>f'(1)=\frac{-1}{3}[/tex]
vậy, phương trình tiếp tuyến có phương trình:
[tex]y=-\frac{1}{3}.(x-1)-1[/tex]
ví dụ 2: cho hàm số y=f(x) thỏa mãn [tex]f(2x)=4f(x).cosx-2x,\forall x\in \mathbb{R}[/tex]. viết phương trình tiếp tuyến của y=f(x) tại điểm có thọa độ [tex]x_M=0[/tex]
giải:
[tex]y=f'(0).(x)+f(0)[/tex]
tìm f(0): thay x=0 vào đẳng thức, ta được: [tex]f(0)=4.f(0).cos(0)-2.0<=>f(0)=4.f(0)<=>f(0)=0[/tex]
tìm [tex]f'(0)[/tex]: đạo hàm 2 vế, ta có: [tex]2f'(2x)=4.f'(x).cosx-4f(x).sinx-2[/tex]
thay x=0 vào đẳng thức, ta được: [tex]2.f'(0)=4.f'(0)-2<=>f'(0)=1[/tex]
phương trình tiếp tuyến có phương trình: [tex]y=x[/tex]
ví dụ 3: cho hàm số y=f(x) thỏa mãn [tex]f^2(1+2x)=x-f^3(1-x),\forall x\in \mathbb{R}[/tex]. viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có x=1.
giải:
phương trình tiếp tuyến có dạng: [tex]y=f'(1).(x-1)+f(1)[/tex]
tìm f(1): thay x=0 vào đẳng thức, ta được: [tex]f^2(1)=-f^3(1)<=>f(1)=0\vee f(1)=-1[/tex]
tìm f'(1): đạo hàm 2 vế, ta được: [tex]4.f'(1-2x).f(1-x)=1+3.f'(1-x).f^2(1-x)[/tex]
thay x=0, ta được: [tex]4.f'(1).f(1)=1+3.f'(1).f^2(1)[/tex]
với giá trị tìm được của f(1), ta tìm được f'(1). từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến.
