Toán 11 viết phương trình tiếp tuyến của hàm số được cho bằng đẳng thức.

[Sweetdream2202]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. viêt phương trình tiếp tuyến của hàm số $$y=f(x)$$ mà f(x) cho bằng đẳng thức.

ví dụ: cho hàm số y=f(x) thõa mãn: $$f(x)+f^2(3-2x)=x^3-\frac{1}{x}$$
Bước 1: $$y=f'(x_0).(x-x_0)+f(x_0)$$. ta cần tìm $$f'(x_0)$$ và $$f(x_0)$$
Bước 2: thay giá trị x hợp lý vào đẳng thức $$=>f(x_0)$$
Bước 3: đạo hàm 2 vế đẳng thức đã cho, thay giá trị x hợp lý vào đẳng thức $$=>f'(x_0)$$
một số bài toán ta cần giải hệ phương trình để tìm ra $$f(x_0)$$ và $$f'(x_0)$$

2. ví dụ:

ví dụ 1: cho hàm số f(x) có đạo hàm trên $$\mathbb{R}$$, thỏa mãn $$f(x)=2x.f(2x-1)+x^3,\forall x\in \mathbb{R}$$. viết phương trình tiếp tuyến của y=f(x) tại điểm có $$x_M=1$$

giải:
phương trình tiếp tuyến có dạng: $$y=f'(1).(x-1)+f(1)$$
tìm f(1): thay x=1 vào đẳng thức, ta được: $$f(1)=2.f(1)+1<=>f(1)=-1$$
tìm $$f'(-1)$$:
đạo hàm 2 vế, ta có: $$f'(x)=2f(2x-1)+4x.f'(2x-1)+3x^2$$
thay x=1 vào đẳng thức, ta được:
$$f'(1)=2f(1)+4.f'(1)+3<=>3f'(1)+1=0<=>f'(1)=\frac{-1}{3}$$
vậy, phương trình tiếp tuyến có phương trình:
$$y=-\frac{1}{3}.(x-1)-1$$

ví dụ 2: cho hàm số y=f(x) thỏa mãn $$f(2x)=4f(x).cosx-2x,\forall x\in \mathbb{R}$$. viết phương trình tiếp tuyến của y=f(x) tại điểm có thọa độ $$x_M=0$$

giải:
$$y=f'(0).(x)+f(0)$$
tìm f(0): thay x=0 vào đẳng thức, ta được: $$f(0)=4.f(0).cos(0)-2.0<=>f(0)=4.f(0)<=>f(0)=0$$
tìm $$f'(0)$$: đạo hàm 2 vế, ta có: $$2f'(2x)=4.f'(x).cosx-4f(x).sinx-2$$
thay x=0 vào đẳng thức, ta được: $$2.f'(0)=4.f'(0)-2<=>f'(0)=1$$
phương trình tiếp tuyến có phương trình: $$y=x$$

ví dụ 3: cho hàm số y=f(x) thỏa mãn $$f^2(1+2x)=x-f^3(1-x),\forall x\in \mathbb{R}$$. viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có x=1.

giải:
phương trình tiếp tuyến có dạng: $$y=f'(1).(x-1)+f(1)$$
tìm f(1): thay x=0 vào đẳng thức, ta được: $$f^2(1)=-f^3(1)<=>f(1)=0\vee f(1)=-1$$
tìm f'(1): đạo hàm 2 vế, ta được: $$4.f'(1-2x).f(1-x)=1+3.f'(1-x).f^2(1-x)$$
thay x=0, ta được: $$4.f'(1).f(1)=1+3.f'(1).f^2(1)$$
với giá trị tìm được của f(1), ta tìm được f'(1). từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến.