- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
* Các dạng phương trình đường thẳng trong Oxy:
1. Phương trình tham số (PTTS)
- Để viết được phương trình tham số của đường thẳng d, ta cần có vecto chỉ phương (vtcp) [tex]\overrightarrow{u}=(a,b)[/tex], và điểm A[TEX](x_a,y_a)[/TEX] mà d đi qua. [tex]\overrightarrow{u}[/tex] là vtcp của d khi giá của nó song song hoặc trùng d.
- Khi đó, PTTS của d là: [tex]\left\{\begin{matrix} x=x_a+at\\ y=y_a+bt \end{matrix}\right.[/tex]
với t thuộc R.
- Nếu điểm M thuộc d thì khi đó tọa độ M có dạng [TEX]M(x_a+at;y_a+bt)[/TEX]
2. Phương trình chính tắc (PTCT)
- Tương tự PTTS, PTCT cũng cần 1 điểm A và vtcp [TEX]\overrightarrow{u}=(a;b)[/TEX] để viết.
- Khác với PTTS, ở PTCT, ta cần có điều kiện cho tọa độ của [TEX]\overrightarrow{u}[/TEX] là [TEX]a \neq 0[/TEX] và [TEX]b \neq 0[/TEX].
Khi đó PTCT của d có dạng: [tex]\frac{x-x_a}{a}=\frac{y-y_a}{b}[/tex]
3. Phương trình tổng quát (PTTQ)
- Để viết PTTQ của d, ta cần có điểm A[TEX](x_a,y_a)[/TEX] mà d đi qua, và vecto pháp tuyến[TEX]\overrightarrow{n}=(a;b)[/TEX].
[TEX]\overrightarrow{n}[/TEX] là vtpt của d khi giá của nó vuông góc với d.
- PTTQ của d có dạng: [TEX]a(x-x_a) +b(y-y_a) = 0[/TEX].
Giải thích: PTTQ này thực ra chính là thể hiện 1 phép tích vô hướng. Giả sử B(x;y) là điểm bất kì thuộc d.
Ta có [TEX]\overrightarrow{AB}=(x-x_a;y-y_a)[/TEX].
Do A, B thuộc d nên [TEX]\overrightarrow{AB}[/TEX] vuông góc với [TEX]\overrightarrow{n}[/TEX]. Mà 2 vecto vuông góc với nhau thì tích vô hướng của chúng bằng 0. Do đó theo công thức nhân tích vô hướng giữa 2 vecto: [TEX]a(x-x_a) +b(y-y_a) = 0[/TEX].
* Nhận xét:
- Để viết được phương trình đt, chắc chắn cần ít nhất 1 điểm mà đường thẳng đó đi qua.
- vtpt hoặc vtcp là cần thiết. Tuy nhiên đề cũng có thể cho hệ số góc k của đường thẳng, khi đó có thể viết PTTQ của đường thẳng dưới dạng sau: [TEX]y=kx+b[/TEX]. Hệ số k này có thể được tính bằng [TEX]tan \alpha[/TEX], với [TEX]\alpha[/TEX] là góc tạo bởi d và trục Ox theo chiều dương.
- Nếu vtcp hoặc vtpt của đường thẳng có 1 thành phần trong tọa độ bằng 0, thì đường thẳng đó không có PTCT.
* Chuyển đổi giữa vtcp và vtpt: cho vtcp của d là [TEX]\overrightarrow{u}=(a;b)[/TEX], ta có 1 vtpt của d là :
[TEX]\overrightarrow{n}=(-b;a)[/TEX] ( đảo ngược tọa độ và thêm dấu "-" vào 1 trong 2 tọa độ mới.
* Một số ví dụ:
Viết phương trình đường thẳng d thỏa mãn:
a. d qua 2 điểm A(1;2) và B(2;3)
Giải: d qua A và B nên [TEX]\overrightarrow{AB}=(1;1)[/TEX] làm vtcp. Do đó PTTS của d là:
[tex]\left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=2+t \end{matrix}\right.[/tex]
b. d qua A(1;3) và song song với d' : x+2y+3=0
Giải: do d // d' nên vtpt [TEX]\overrightarrow{n}=(1;2)[/TEX] của d' cũng là vtpt của d.
Do đó d có PTTQ : [TEX](x-1)+2(y-3)=0<=>x+2y-7=0[/TEX]
c. d qua A(2;2) và có hệ số góc k=2.
Giải: do d có hệ số góc k=2 nên PTTQ của d có dạng: [TEX]y=2x+a[/TEX]
Do d qua A(2;2) nên thay tọa độ của A vào d phải thỏa mãn. Do đó:
[TEX]2=2.2+a<=>a=2[/TEX]
Vậy PTTQ của d là: [TEX]y=2x+2[/TEX]
d. d là trung trực của đoạn thẳng AB với A(0;2) , B(2;4)
Giải: Do d là trung trực của AB nên d đi qua trung điểm M của AB.
Theo công thức trung điểm thì ta có: [tex]x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=1;y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=3[/tex]
=> [TEX]M(1;3)[/TEX]
Cũng do d là trung trực nên d vuông góc AB, hay d nhận [TEX]\overrightarrow{AB}=(2;2)[/TEX] làm vtpt.
=> PTTQ của d là: [TEX]2(x-1)+2(y-3)=0<=>x+y-4=0[/TEX]
1. Phương trình tham số (PTTS)
- Để viết được phương trình tham số của đường thẳng d, ta cần có vecto chỉ phương (vtcp) [tex]\overrightarrow{u}=(a,b)[/tex], và điểm A[TEX](x_a,y_a)[/TEX] mà d đi qua. [tex]\overrightarrow{u}[/tex] là vtcp của d khi giá của nó song song hoặc trùng d.
- Khi đó, PTTS của d là: [tex]\left\{\begin{matrix} x=x_a+at\\ y=y_a+bt \end{matrix}\right.[/tex]
với t thuộc R.
- Nếu điểm M thuộc d thì khi đó tọa độ M có dạng [TEX]M(x_a+at;y_a+bt)[/TEX]
2. Phương trình chính tắc (PTCT)
- Tương tự PTTS, PTCT cũng cần 1 điểm A và vtcp [TEX]\overrightarrow{u}=(a;b)[/TEX] để viết.
- Khác với PTTS, ở PTCT, ta cần có điều kiện cho tọa độ của [TEX]\overrightarrow{u}[/TEX] là [TEX]a \neq 0[/TEX] và [TEX]b \neq 0[/TEX].
Khi đó PTCT của d có dạng: [tex]\frac{x-x_a}{a}=\frac{y-y_a}{b}[/tex]
3. Phương trình tổng quát (PTTQ)
- Để viết PTTQ của d, ta cần có điểm A[TEX](x_a,y_a)[/TEX] mà d đi qua, và vecto pháp tuyến[TEX]\overrightarrow{n}=(a;b)[/TEX].
[TEX]\overrightarrow{n}[/TEX] là vtpt của d khi giá của nó vuông góc với d.
- PTTQ của d có dạng: [TEX]a(x-x_a) +b(y-y_a) = 0[/TEX].
Giải thích: PTTQ này thực ra chính là thể hiện 1 phép tích vô hướng. Giả sử B(x;y) là điểm bất kì thuộc d.
Ta có [TEX]\overrightarrow{AB}=(x-x_a;y-y_a)[/TEX].
Do A, B thuộc d nên [TEX]\overrightarrow{AB}[/TEX] vuông góc với [TEX]\overrightarrow{n}[/TEX]. Mà 2 vecto vuông góc với nhau thì tích vô hướng của chúng bằng 0. Do đó theo công thức nhân tích vô hướng giữa 2 vecto: [TEX]a(x-x_a) +b(y-y_a) = 0[/TEX].
* Nhận xét:
- Để viết được phương trình đt, chắc chắn cần ít nhất 1 điểm mà đường thẳng đó đi qua.
- vtpt hoặc vtcp là cần thiết. Tuy nhiên đề cũng có thể cho hệ số góc k của đường thẳng, khi đó có thể viết PTTQ của đường thẳng dưới dạng sau: [TEX]y=kx+b[/TEX]. Hệ số k này có thể được tính bằng [TEX]tan \alpha[/TEX], với [TEX]\alpha[/TEX] là góc tạo bởi d và trục Ox theo chiều dương.
- Nếu vtcp hoặc vtpt của đường thẳng có 1 thành phần trong tọa độ bằng 0, thì đường thẳng đó không có PTCT.
* Chuyển đổi giữa vtcp và vtpt: cho vtcp của d là [TEX]\overrightarrow{u}=(a;b)[/TEX], ta có 1 vtpt của d là :
[TEX]\overrightarrow{n}=(-b;a)[/TEX] ( đảo ngược tọa độ và thêm dấu "-" vào 1 trong 2 tọa độ mới.
* Một số ví dụ:
Viết phương trình đường thẳng d thỏa mãn:
a. d qua 2 điểm A(1;2) và B(2;3)
Giải: d qua A và B nên [TEX]\overrightarrow{AB}=(1;1)[/TEX] làm vtcp. Do đó PTTS của d là:
[tex]\left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=2+t \end{matrix}\right.[/tex]
b. d qua A(1;3) và song song với d' : x+2y+3=0
Giải: do d // d' nên vtpt [TEX]\overrightarrow{n}=(1;2)[/TEX] của d' cũng là vtpt của d.
Do đó d có PTTQ : [TEX](x-1)+2(y-3)=0<=>x+2y-7=0[/TEX]
c. d qua A(2;2) và có hệ số góc k=2.
Giải: do d có hệ số góc k=2 nên PTTQ của d có dạng: [TEX]y=2x+a[/TEX]
Do d qua A(2;2) nên thay tọa độ của A vào d phải thỏa mãn. Do đó:
[TEX]2=2.2+a<=>a=2[/TEX]
Vậy PTTQ của d là: [TEX]y=2x+2[/TEX]
d. d là trung trực của đoạn thẳng AB với A(0;2) , B(2;4)
Giải: Do d là trung trực của AB nên d đi qua trung điểm M của AB.
Theo công thức trung điểm thì ta có: [tex]x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=1;y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=3[/tex]
=> [TEX]M(1;3)[/TEX]
Cũng do d là trung trực nên d vuông góc AB, hay d nhận [TEX]\overrightarrow{AB}=(2;2)[/TEX] làm vtpt.
=> PTTQ của d là: [TEX]2(x-1)+2(y-3)=0<=>x+y-4=0[/TEX]