[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Ta biết rằng có thể giải được phương trình tổng quát bậc ba bằng căn thức bằng cách sử dụng số ảo. Tuy nhiên câu hỏi đặt ra là có thể giải được các phương trình bậc ba mà nghiệm của nó không chứa số ảo trong công thức không ? Câu trả lời là không thể ! Các bạn tìm hiểu vấn đề này qua bài toán sau:
Bài toán: Chứng minh rằng không thể giải được phương trình tổng quát bậc ba bằng căn thức nếu chỉ trên tập số thực R ?
Lời giải
Để chứng minh không thể giải được phương trình tổng quát bậc ba bằng căn thức mà chỉ với lượng thực dưới căn ta chỉ cần chỉ ra một trường hơp cụ thể không giải được bằng căn thực là được.
Ta có phương trình bậc ba x^3 -3x + 1 = 0 có ba nghiệm thực phân biệt và ta không thể nào biểu diễn dược các nghiệm thực này dưới dạng đại số mà không có chứa số ảo dưới căn.
Thật vậy: với phương trình bậc ba x3 – 3x + 1 = 0. Dễ thấy phương trình này có 3 nghiệm thực phân biệt vì nếu đặt f(x) = x3 – 3x + 1 thì ta có f(-2) = -1 < 0; f(0) = 1 > 0 ; f(1) = -1 < 0 ; f(2) = 3 > 0 nên phương trình x3 – 3x + 1 = 0 có ba nghiệm x1 , x2 , x3 với -2 < x1 < 0 < x2 < 1 < x3 < 2 ba nghiệm của nó là x1 = - 2sin70o , x2 = 2sin10o , x3 = 2sin50o các bạn tự kiểm tra lại nhé! Theo công thức Cac-na-đô ta có các nghiệm dưới dạng đại số của phương trình này là:
biểu thức nghiệm. Nên ta không thể nào làm mât được đại lượng ảo trong công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Tóm lại ta không có cách gì để biểu diễn được các nghiệm này dưới dạng đại số nếu chỉ dùng 6 phép toán cơ bản là cộng (+), trừ (-), nhân (x), chia (/), lũy thừa (^) và khai căn (√) trên tập số thực R. Từ đó suy ra ta không thể nào giải được phương trình bậc ba x^3 -3x + 1 = 0 bằng căn thức trên tập số thực. Điều này cũng có nghĩa rằng: Phương trình tổng quát bậc ba là không thể giải được bằng phép toán căn trên tập số thực R.□
Bài toán: Chứng minh rằng không thể giải được phương trình tổng quát bậc ba bằng căn thức nếu chỉ trên tập số thực R ?
Lời giải
Để chứng minh không thể giải được phương trình tổng quát bậc ba bằng căn thức mà chỉ với lượng thực dưới căn ta chỉ cần chỉ ra một trường hơp cụ thể không giải được bằng căn thực là được.
Ta có phương trình bậc ba x^3 -3x + 1 = 0 có ba nghiệm thực phân biệt và ta không thể nào biểu diễn dược các nghiệm thực này dưới dạng đại số mà không có chứa số ảo dưới căn.
Thật vậy: với phương trình bậc ba x3 – 3x + 1 = 0. Dễ thấy phương trình này có 3 nghiệm thực phân biệt vì nếu đặt f(x) = x3 – 3x + 1 thì ta có f(-2) = -1 < 0; f(0) = 1 > 0 ; f(1) = -1 < 0 ; f(2) = 3 > 0 nên phương trình x3 – 3x + 1 = 0 có ba nghiệm x1 , x2 , x3 với -2 < x1 < 0 < x2 < 1 < x3 < 2 ba nghiệm của nó là x1 = - 2sin70o , x2 = 2sin10o , x3 = 2sin50o các bạn tự kiểm tra lại nhé! Theo công thức Cac-na-đô ta có các nghiệm dưới dạng đại số của phương trình này là:
biểu thức nghiệm. Nên ta không thể nào làm mât được đại lượng ảo trong công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Tóm lại ta không có cách gì để biểu diễn được các nghiệm này dưới dạng đại số nếu chỉ dùng 6 phép toán cơ bản là cộng (+), trừ (-), nhân (x), chia (/), lũy thừa (^) và khai căn (√) trên tập số thực R. Từ đó suy ra ta không thể nào giải được phương trình bậc ba x^3 -3x + 1 = 0 bằng căn thức trên tập số thực. Điều này cũng có nghĩa rằng: Phương trình tổng quát bậc ba là không thể giải được bằng phép toán căn trên tập số thực R.□
