Toán 12 VDC hình không gian

[Hoàng Thế Dương]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Góc tạo bởi mặt bên (SAB) với đáy bằng α. Tỉ số diện tích của tam giác SAB và hình bình hành ABCD bằng k. Mặt phẳng (P) đi qua AB và chia hình chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. Gọi ß là góc tạo bởi mặt phẳng (P) và mặt đáy. Tính cotß theo α và k.
A. $cotß = cotα + \frac{\sqrt{5}+1}{4ksinα}$
B. $cotß = tanα + \frac{\sqrt{5}+1}{ksinα}$
C. $cotß = cotα + \frac{\sqrt{5}-1}{ksinα}$
D. $cotß = tanα + \frac{\sqrt{5}-1}{ksinα}$

 

[iceghost]

* Gọi thiết diện tạo bởi $(P)$ và $S.ABCD$ là hình thang $ABFE$
Một cách quen thuộc: $\dfrac{V_{S.AEF}}{V_{S.ADC}} = \dfrac{SE}{SD} \cdot \dfrac{SF}{SC} = x^2$, với $x = \dfrac{SE}{SD}$
Tương tự thì $\dfrac{V_{S.ABF}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SF}{SC} = x$
Do $V_{S.ADC} = V_{S.ABC} = \dfrac12 V_{S.ABCD}$ nên cộng lại ta được $\dfrac{V_{S.ABFE}}{\dfrac12 V_{S.ABCD}} = 1 = x^2 + x$
Từ đó giải ra được $x = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}2$

* Từ $S$ kẻ mặt phẳng vuông góc $AB$, tạo thiết diện $SKJ$. Gọi $SJ \cap EF = M$ thì $\alpha = \widehat{SKJ}$, $\beta = \widehat{MKJ}$
Theo định lý sin: $\dfrac{\sin \widehat{SKM}}{\sin \widehat{JKM}} = \dfrac{\sin \widehat{SKM}}{\sin \widehat{SMK}} \cdot \dfrac{\sin \widehat{JMK}}{\sin \widehat{JKM}} = \dfrac{SM}{SK} \cdot \dfrac{JK}{JM} \ (*)$

Lại có $\widehat{SKM} = \alpha - \beta$, $\widehat{JKM} = \beta$
$k = \dfrac{S_{SAB}}{S_{ABCD}} = \dfrac{\dfrac12 SK \cdot AB}{KJ \cdot AB} = \dfrac{SK}{2KJ}$
$\dfrac{SM}{SJ} = x = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}2 \implies \dfrac{SM}{JM} = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}2$

Từ đó có $\dfrac{\sin (\alpha - \beta)}{\sin \beta} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}2 \cdot \dfrac{1}{2k}$
Rút gọn có $\cot \beta = \cot \alpha + \dfrac{1 + \sqrt{5}}{4k \sin \alpha}$