[Vật lí 12] Ứng dụng tích phân vào vật lí.

[thienxung759]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tớ lập ra chủ đề này để chúng ta có thể chia sẻ những bài tập vật lí được giải bằng phương pháp tích phân.

Lưu ý:
- Chủ đề này chỉ có nội dung tham khảo. Mọi thoắc mắc hoặc ý kiến đóng góp, các bạn vui lòng liên lạc với tớ bằng tin nhắn.
- Nghiêm cấm viết bài spam (kể cả viết bài kém chất lượng và không phù hợp chủ đề). Mọi hành vi spam dù nhẹ hay nặng đều sẽ phải nhận thẻ đỏ.
- Các bạn có thể viết bài với cú pháp sau:

Đề:.....
Bài giải:......







Bài 1) Tìm momen quán tính của một đĩa tròn đồng chất, tiết diện đều quay quanh trục thẳng đứng đi qua tâm.


Bài giải: Gọi R là bán kính đĩa tròn có khối lượng m.
Xét một hình vành khăn giới hạn bởi hai bán kính [TEX]x[/TEX] và [TEX]x + d_x[/TEX]
Trong đó [TEX]d_x[/TEX] vô cùng bé.
Diện tích của vành là:
[TEX]d_S = S_{dx} - S_x = (x+d_x)^2\pi - x^2\pi = x^2\pi + 2xd_x\pi + d_x^2\pi - x^2\pi[/TEX]
Vì [TEX]d_x^2[/TEX] quá bé nên bỏ qua.
Vậy [TEX]d_S = 2xd_x\pi[/TEX]
Khối lượng của vành:
[TEX]d_m = \frac{d_S}{S}m = m\frac{2xd_x\pi}{\pi R^2} = m\frac{2xd_x}{R^2} [/TEX]
Khoảng cách từ vành đến trục là x.
Momen quán tính của vành đối với trục là:
[TEX]d_I = d_mx^2 = m\frac{2x^3d_x}{R^2}[/TEX]
Momem quán tính của đĩa là:
[TEX]I = \int_{0}^{R}d_I = \int_{0}^{R}m\frac{2x^3}{R^2}d_x[/TEX]
[TEX]I = m\frac{2R^4}{4R^2} = \frac{mR^2}{2}[/TEX].

 

[thienxung759]

Bài 2.

Bài 2. Một vật chuyển động với gia tốc đầu bằng 0. Vận tốc biến đổi theo quy luật [TEX]a = 0,1t (m/s^2)[/TEX].
Xác định quãng đường vật đi trong nửa phút đầu tiên.

Bài giải.

Ta có: [TEX]a = \frac{d_v}{d_t} \Rightarrow d_v = ad_t[/TEX]
[TEX]\Rightarrow V = \int_{}^{}ad_t = \int_{}^{} 0,1td_t = \frac{0,1t^2}{2}[/TEX]
Mà: [TEX]d_s = Vd_t [/TEX]
\Rightarrow [TEX]S = \int_{0}^{30}\frac{0,1t^2}{2}d_t [/TEX]
PT quãng đường là [TEX]S = \frac{0,1t^3}{6}[/TEX]
Thay cận vào được [TEX]S = 450 m[/TEX]

 

[kisiaotrang]

mình xin post một bài bài này có trong sách của mình thực ra mình cũng chẳng hiểu lắm

đề bài : một khối khí lí tưởng thực hiện quá trình dãn đẳng nhiệt từ áp suất[TEX] p_1=2atm[/TEX] thể tích [TEX]V_1=2lit[/TEX] đến thể tích [TEX]V_2=3.5lit[/TEX] hãy tính công mà khí đã thực hiện trong quá trình
bài giải
xét một phần nhỏ trong quá trình khí dãn được một lườn [TEX]dV[/TEX] khi đó áp xuất coi như không thay đổi công mà khí thực hiện trong quá trình này là [TEX]dA=pdV [/TEX]
công mà khí thực hiện trong toàn bộ quá trình này là [TEX]A=\int dA=\int pdV[/TEX]
trong đó[TEX] p=\frac{{p}_{1}{V}_{1}}{V} [/TEX]ta suy ra
[TEX]A=\int_{{V}_{2}}^{{V}_{1}}{p}_{1}{V}_{1}\frac{dV}{V}={p}_{1}{V}_{1}\int_{{V}_{2}}^{{V}_{1}}\frac{dV}{V} [/TEX]
tới đây bấm máy

 

[huutrang93]

Thêm một vài bài tập chứng minh công thức SGK

Đề bài:
Cho 1 lò xo khối lượng m, độ cứng k đặt nằm ngang, 1 đầu lò xo gắn cố định, đầu còn lại treo vật khối lượng M. Kéo dãn vật 1 đoạn rồi cho dao động điều hòa, tính chu kì dao động
Bài giải:

Xét tại thời điểm t, chiều dài lò xo là L, x là độ biến dạng của lò xo, v là vận tốc quả cầu
Xét 1 phần tử dl rất nhỏ của lò xo, có khối lượng dm, cách đầu lò xo 1 đoạn l
Vận tốc phần tử
[TEX]u=v\frac{l}{L}[/TEX]
Khối lượng phần tử
[TEX]dm=\frac{m}{L}dl[/TEX]
Động năng của toàn bộ lò xo
[TEX]W_d=\int\limits_{0}^{L}W_d=\int\limits_{0}^{L} \frac{m.dl.v^2.l^2}{2.L.L^2}=\frac{m.v^2}{6.L^3}(L^3-0^3)=\frac{mv^2}{6}[/TEX]
Bảo toàn năng lượng
[TEX]W=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{6}mv^2+\frac{1}{2}M.v^2=const[/TEX]
Đạo hàm 2 vế theo thời gian
[TEX]0=kxx^\prime+\frac{1}{3}mvv^\prime+Mvv^\prime[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{m+3M}{3}x^{\prime\prime}=-kx[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{3k}{m+3M}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m+3M}{3k}[/TEX]
Vậy, nếu bỏ qua khối lượng lò xo thì chu kì dao động là
[TEX]T=2\pi\frac{m}{k}[/TEX]

 

[thienxung759]

Một chiếc xe có khối lượng [TEX]m[/TEX] chạy với vận tốc [TEX]v_0[/TEX] thì tắt máy. Lực cản tác dụng lên xe [TEX]F_c = -bv[/TEX]. Tìm quãng đường xe đi được.

Giải.
Ta có [TEX]F = - m\frac{d_v}{d_t} = -bv[/TEX]
Hay [TEX]\frac{d_v}{V} = \frac{b}{m}d_t[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \int_{v}^{v_o}\frac{d_v}{V} = \int_{0}^{t}\frac{b}{m}d_t[/TEX]
\Rightarrow [TEX]lnv_0 - lnv = {\frac{-b}{m}}t[/TEX]
Hay [TEX]v = v_0e^{\frac{-b}{m}t}[/TEX]
Xe dừng lại khi [TEX]v = 0[/TEX] khi đó t dần ra vô cùng.
[TEX]S = \int_{0}^{\infty}vd_t = \int_{0}^{\infty}v_0e^{\frac{-b}{m}t} = \frac{mv_0}{b}[/TEX]
Vậy
[TEX]S = \frac{mv_0}{b}[/TEX]

 

[thienxung759]

Bài thứ 5.

Đề: Một hình tròn đồng chất khối lượng m, bán kính R đang quay đều trên mặt phẳng nhẵn với vận tốc góc [TEX]\omega[/TEX]. Áp nhẹ một đĩa giống hệt trùng khít lên đĩa này. Hệ số ma sát là k. Tìm khoảng thời gian hai vật trượt trên nhau.

Bài giải:
Tìm momen của ma sát tác dụng lên mỗi đĩa:
Xét một hình tròn giới hạn bởi hai bán kính [TEX]x[/TEX] và [TEX]x+d_x[/TEX] Trong đó [TEX]d_x[/TEX] vô cùng bé.
Diện tích của vành tròn này là [TEX]d_S = \pi (x+d_x)^2 - \pi x^2 = 2\pi xd_x [/TEX] (Vì [TEX]d_x[/TEX] vô cùng bé nên [TEX]d_x^2[/TEX] có thể xem như bằng 0)
Khối lượng của vành tròn này là:
[TEX]d_m = m\frac{d_S}{S} = \frac{2m}{R^2}xd_x[/TEX]
Momen lực tác dụng lên phần diện tích này:
[TEX]d_M = Fx = d_mgkx = \frac{2mgkx^2d_x}{R^2}[/TEX] ([TEX]F[/TEX] lực tác dụng: ở đây là lực ma sát [TEX]F = Pk[/TEX])
Vậy momen lực tác dụng lên toàn đĩa là.
[TEX]M = \int_{0}^{R}d_M = \int_{0}^{R}\frac{2mgkx^2d_x}{R^2}=\frac{2mgkR}{3}[/TEX]

Đối với đĩa 1 (ở trên):
[TEX]\omega_1 = \gamma t = \frac{M}{I}t[/TEX]
Đối với đĩa 2:
[TEX]\omega_2 = \omega - \gamma t [/TEX]
[tex]\Rightarrow t = \frac{\omega }{2\gamma } = \frac{\omega I}{2M}[/TEX]
Với [TEX]I = \frac{mR^2}{2}[/TEX]
Thế [TEX]M[/TEX] và [TEX]I[/TEX] vào phương trình ta được:
[TEX]t = \frac{\omega R}{8gk} [/TEX]

 

[thienxung759]

Cách xác định trọng tâm của các hình phẳng.

Công thức Guyn-danh:


Công thức 1: Diện tích [TEX]S[/TEX] sinh ra bởi đường phẳng khi quay quanh trục đồng phẳng [TEX]\Delta[/TEX] không cắt nó xác định bởi công thức:

[TEX]S = 2\pi dS[/TEX]

Trong đó:

[TEX]L[/TEX] là chiều dài đường phẳng.
[TEX]d[/TEX] là khoảng cách từ trọng tâm [TEX]G[/TEX] của đường phằng đến [TEX]\Delta[/TEX].








Công thức 2: Thể tích V sinh ra bởi tấm phẳng khi quay quanh trục [TEX]\Delta[/TEX] không cắt nó xác định bởi công thức:

[TEX]V = 2\pi dS[/TEX]

Với:

[TEX]S[/TEX] là diện tích tấm phẳng.
[TEX]d[/TEX] là khoảng cách từ trọng tâm của tấm phẳng đến [TEX]\Delta[/TEX].






Ví dụ:

Tìm trọng tâm của một tấm hình bán nguyệt, có khối lượng phân bố đều.

Giải:
Khi quay tấm này quanh đường kính của nó sẽ tạo thành một hình cầu có thể tích: [TEX]V = \frac{4}{3}\pi R^3[/TEX]
Diện tích tấm phẳng:
[TEX]S = \frac{\pi R^2}{2}[/TEX]
Thay vào công thức 2:
[TEX]\frac{4}{3}\pi R^3 = 2\pi d\frac{\pi R^2}{2} [/TEX]
Vậy [TEX]d = \frac{4}{3\pi}R[/TEX].

 

[thienxung759]

Giải:
Khi cho tấp phẳng này quay quanh trục Ox (hình) sẽ tạo thành một khối tròn xoay (không rõ phải gọi là hình gì).
Thể tích của khối tròn xoay này là:
[TEX]v = \frac{60*2}{360}V = \frac{1}{3} \frac{4\pi R^3}{3}= \frac{4\pi R^3}{9}[/TEX]
Diện tích của hình quạt:
[TEX]s = \frac{60S}{360}= \frac{\pi R^2}{6}[/TEX]
Áp dụng công thức 2 ta có:
[TEX]v = 2\pi ds \Rightarrow d = \frac{v}{2\pi s}[/TEX]
Hay:
[TEX]d = \frac{4}{3\pi}R[/TEX]

Vậy so với O thì G cách một đoạn:
[TEX]OG = \frac{d}{sin30} = \frac{8}{3\pi}[/TEX]

 

[thienxung759]

 

[songtu009]

Cách xác định trọng tâm của một vật thể. (Bổ sung, sửa đổi!)

Công thức tổng quát:

Như ta đã biết, trọng tâm [TEX]G[/TEX] của một vật thể được xác định bởi công thức:
[TEX]\vec{x_G} = \frac{m_1\vec{x_1}+m_2\vec{x_2}+m_3\vec{x_3}+......m_n\vec{x_n}}{m_1+m+2+m_3+...+m_n}[/TEX]

Trong đó [TEX]m_1, m_2, m_3,...m_n[/TEX] là khối lượng của những điểm cấu thành vật thể.
Ta có thể viết lại phương trình trên như sau:
[TEX]x_G = \frac{x\int_{}^{}dm}{m}[/TEX] (I)

Để đơn giản trong tính toán, ta đưa ra một số khái niệm:

Mật độ dài [TEX]\lambda[/TEX] (đối với đường).
[TEX]m = L\lambda[/TEX]

Mật độ phân tử bề mặt [TEX]\sigma[/TEX] (đối với bề mặt phẳng).
[TEX]m = S\sigma[/TEX]

Mật độ khối [TEX]\delta[/TEX] (Đối với các khối).
[TEX]m = V\delta[/TEX]

Ba khái niệm này ương đương với khối lượng riêng [TEX]d[/TEX]

Áp dụng cho từng dạng bài cụ thể.

Dạng 1: Đường.

Giải:
Trọng tâm của cung tròn sẽ nằm trên trục đối xứng của nó. Ta gọi trục này là Ox.
Xét một đoạn có chiều dài [TEX]dL[/TEX] và chắn ở tâm một góc [TEX]d\varphi[/TEX]
Theo công thức (I):
[TEX]x_G = \frac{x\int_{}^{}dm}{m} = \frac{x\int_{}^{}dL\lambda}{L\lambda}=\frac{x\int_{}^{}dL}{L}[/TEX]
Trong đó:
[TEX]d_L = Rd\varphi[/TEX]

[TEX]L = R2\alpha[/TEX]

[TEX]x = Rcos\varphi[/TEX]

Áp dụng công thức:

[TEX]x_G = \frac{\int_{-\alpha}^{\alpha}R^2cos\varphi d\varphi}{R2\alpha}[/TEX]

Vậy: [TEX]x_G = \frac{Rsin\alpha}{\alpha}[/TEX]

 

[songtu009]

Giải:
Xét một đoạn ngắn [TEX]d_x[/TEX] đối xứng nhau hai bên trục, có tọa độ x.

Trọng tâm của vật xác định bởi:

[TEX]x_G = \frac{x\int_{}^{}dm}{m} = \frac{\int_{}^{}x2d_x\lambda}{\lambda 3L}[/TEX]

[TEX]x_G = \frac{2\int_{0}^{L}xd_x}{3L} = \frac{L}{3}[/TEX]

 

[tiendung_htk]

Hình như còn 1 ứng dụng nữa là tính từ thông xuyên qua 1 tiết diện thẳng nữa thì phải?

 

[nach_rat_hoi]

Còn ứng dụng của tích phân trong Chương Hạt nhân nguyên tử, phóng xạ gì đó. minh mới nghe nói đến. ai biết post lên mọi người tham khảo với !

 

[Trần Hữu Đức]

đoạn phút thứ 13:36 em không hiểu lắm, em ms học lớp 10, ms cày sơ qua nguyên hàm-tích phân, cọ mọi người giải thích dễ hiểu tý.

 

[Trai Họ Nguyễn]

đoạn phút thứ 13:36 em không hiểu lắm, em ms học lớp 10, ms cày sơ qua nguyên hàm-tích phân, cọ mọi người giải thích dễ hiểu tý.

rô là mậy độ khối lượng mặt
xét phần dây màu xanh ( đã đc chia nhỏ ) trải cả cái vòng có chiều dài là chu vi hình tròn chiều rộng là dr
trải vòng tròn đấy ra thành hình chữ nhật
thì tính đc diện tích cả hcn đấy là S=2.3,14.l.dr
2.3,14.l chu vi hình tròn
dr chiều rộng

 

[Trần Hữu Đức]

e nghĩ nó sẽ là diện tích hình vành khăn chứ, e cx đã thử trải cái vòng tròn chia chia nhỏ nó ra bằng đường kính- tạo ra những hình thang cân nhỏ, ghép lại có thể coi như hình chữ nhật, diện tích hình chữ nhật đó là( (chu vi ngoài +chu vi trong )*dl)/2 , giải nó ra cx ra đc diện tích hình vành khăn.kì cục vậy nhỉ?

 

[Trai Họ Nguyễn]

e nghĩ nó sẽ là diện tích hình vành khăn chứ, e cx đã thử trải cái vòng tròn chia chia nhỏ nó ra bằng đường kính- tạo ra những hình thang cân nhỏ, ghép lại có thể coi như hình chữ nhật, diện tích hình chữ nhật đó là( (chu vi ngoài +chu vi trong )*dl)/2 , giải nó ra cx ra đc diện tích hình vành khăn.kì cục vậy nhỉ?

cái vòng nhỏ mik nói là cái vành khăn ấy
đơn giản tke kia thôi

 

[Trần Hữu Đức]

à, ý là dr nhỏ quá nên coi nó như sợi dây rồi tính như diện tích hình chứ nhật á hử!!

 

[Trai Họ Nguyễn]

à, ý là dr nhỏ quá nên coi nó như sợi dây rồi tính như diện tích hình chứ nhật á hử!!

đúng r nhé