Bài 4 (5 điểm):
Trên mặt bàn nhẵn cố định dài L, có đặt hai vật A và B tiếp xúc nhau. Mặt trên của A là 1 đường dẫn có dạng nửa hình tròn và bán kính R (R<<L), độ cao của đỉnh đường dẫn so với mặt bàn là $h$. Một vật nhỏ C trượt không vận tốc đầu từ điểm cao nhất của đường dẫn xuống dưới (hình vẽ). Khối lượng của A, B, C đều bằng nhau và bằng m. Biết rằng ban đầu A nằm chính giữa bàn và trong quá trình chuyển động A và C luôn tiếp xúc nhau. Bỏ qua ma sát ở các mặt tiếp xúc.|
Hỏi:
a) Khi A và B rời nhau thì vận tốc của B là bao nhiêu. Biết lúc đó vật B chưa rời khỏi bàn.
b) Sau khi a và B rời nhau thì độ cao cực đại của C so với mặt bàn là bao nhiêu?
c) Vật A rơi xuống đất từ bên trái hay bên phải của mép bàn? Tính thời gian kể từ lúc vật A tách khỏi B cho đến khi nó rời khỏi bàn. Coi kích thước của A không đáng kể so với chiều dài L của bàn.\
a) Gọi điểm thấp nhất của bán cầu là D. Tại đó B có vận tốc $v_B$
--Khi C bắt đầu trượt từ vị trí đầu xuống D thì lực nén mà nó tác dụng lên A đẩy A và B cđ nhanh dần với cùng 1 gia tốc có hướng sang phải.
--Khi C trượt từ D sang bên trái trên bán cầu thì lực nén lại có xu hướng đẩy A sang bên trái với gia tốc có hướng sang trái. Trong khi đó, B cđ đều với $v_B$
Như vậy, khi C đến D thì A và B bắt đầu rời nhau.
Bảo toàn cơ cho 2 vị trí ban đầu và D của vật C. Ta tìm được $v_C=\sqrt{2gR}$,
Bảo toàn động lượng cho hệ A, B, C, cũng tại 2 vị trí trên. Ta có:
$0=mv_C-2mv_B \rightarrow \fbox{$v_B=0,5v_C=0,5\sqrt{2gR}$}$
b) C đạt độ cao cực đại khi nó đứng yên trên A. Lúc đó A, C có cùng vận tốc $v$
Bảo toàn động lượng. Ta có:
$2m\vec v=m\vec {v_B}+m\vec{v_C}=\dfrac{1}{2}m\vec v_C$
Suy ra: $v=\dfrac{1}{4}v_C=\sqrt{gR}$
Bảo toàn cơ: $\dfrac{1}{2}m(v_B^2+v_C^2)+mg(h-R)=\dfrac{1}{2}mv^2+mgh'$
Rút gọn, thay số, cuối cùng ta được: $\fbox{$h'=h-\dfrac{R}{4}$}$
c) Sau khi chia tay B thì 2 C cứ cđ lặp lại trên máng A. Với độ cao cực đại là h'<h.
Về xu hướng, lực nén tác dụng lên A có xu hướng kéo nó qua lại.
Tuy nhiên, khi đạt độ cao cực đại lần đầu tiên, A đã có vận tốc hướng sang phải.
Do vậy, vật A có xu hướng cđ sang phải nhiều hơn----> Rơi ở bên phải mép bàn.
(Không biết lí giải như vậy có cần tính toán gì không)
Nếu đề đã coi kích thước của A không đáng kể so với chiều dài của bàn thì tốt nhất là hạn chế để ý đến cái R.
Chắc chắn A chỉ rời khỏi bàn khi vận tốc của nó còn hướng sang phải. Nếu không sẽ chẳng có cơ hội nào hết.
Oh, bài này lại có gia tốc biến thiên.
)
