Toán Vận dụng kiến thức Vectơ- Hình học 10 NC

[thuyhaa1byt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Một đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, Ac tại P, Q .
chứng minh: [tex]\frac{PB}{PA}+\frac{QC}{QA} \leq \frac{1}{4}[/tex]

 

[iceghost]

Đặt $\dfrac{PB}{PA} = x \implies \dfrac{PB}{BA} = \dfrac{x}{1+x}$ và $\dfrac{PA}{BA} = \dfrac{1}{1+x}$
$\dfrac{QC}{QA} = y \implies \dfrac{QC}{CA} = \dfrac{y}{1+y}$ và $\dfrac{QA}{CA} = \dfrac{1}{1+y}$
Ta có $\vec{GP} = \dfrac{x}{1+x} \vec{GA} + \dfrac{1}{1+x} \vec{GB} = \dfrac{x-1}{x+1} \vec{GA} - \dfrac{1}{1+x} \vec{GC}$
$\vec{GQ} = \dfrac{y}{1+y} \vec{GA} + \dfrac{1}{1+y} \vec{GC}$
Có $G, P, Q$ thẳng hàng $\iff \dfrac{x-1}{x+1} \cdot \dfrac{1}{1+y} = - \dfrac{1}{1+x} \cdot \dfrac{y}{1+y}$
$\iff x - 1 = - y \iff x+y = 1$
Hình như đề phải là $\dfrac{PB}{PA} \cdot \dfrac{QC}{QA} \leqslant \dfrac{1}4$ nhỉ?

 

[thuyhaa1byt]

Đặt $\dfrac{PB}{PA} = x \implies \dfrac{PB}{BA} = \dfrac{x}{1+x}$ và $\dfrac{PA}{BA} = \dfrac{1}{1+x}$
$\dfrac{QC}{QA} = y \implies \dfrac{QC}{CA} = \dfrac{y}{1+y}$ và $\dfrac{QA}{CA} = \dfrac{1}{1+y}$
Ta có $\vec{GP} = \dfrac{x}{1+x} \vec{GA} + \dfrac{1}{1+x} \vec{GB} = \dfrac{x-1}{x+1} \vec{GA} - \dfrac{1}{1+x} \vec{GC}$
$\vec{GQ} = \dfrac{y}{1+y} \vec{GA} + \dfrac{1}{1+y} \vec{GC}$
Có $G, P, Q$ thẳng hàng $\iff \dfrac{x-1}{x+1} \cdot \dfrac{1}{1+y} = - \dfrac{1}{1+x} \cdot \dfrac{y}{1+y}$
$\iff x - 1 = - y \iff x+y = 1$
Hình như đề phải là $\dfrac{PB}{PA} \cdot \dfrac{QC}{QA} \leqslant \dfrac{1}4$ nhỉ?

đúng r. nhân bạn ạ. mình ghi đề nhầm