Toán 12 Ứng dụng tích phân

[thaoph09]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tính tích phân[tex]\int_{-2}^{2} \sqrt{8-x^{2}}[/tex]
mình đặt x=[tex]2\sqrt{2}cost => dx=-2\sqrt{2}sintdt[/tex]
biến đổi ra kết quả = -4t+2sin2t cận pi/4 -> 3pi/4 = -2pi-4
còn đặt x=[tex]2\sqrt{2} sint [/tex] thì ra = 4t+2sin2t cận -pi/4 -> pi/4 = 2pi+4
do mình làm sai hay có mâu thuẫn trong cách đặt ạ ?giúp mình vs?

 

[System32]

Xét lại phần đặt $x = 2\sqrt{2}\cos t$
Khi đặt $x = 2\sqrt{2}\cos t \implies dx = -2\sqrt{2}\sin t$
Với $x = 2 \implies t = \dfrac{\pi}{4}; x = -2 \implies t = \dfrac{3\pi}{4}$
Ở đây bạn nghĩ rằng do $\dfrac{\pi}{4} < \dfrac{3\pi}{4}$ nên $\dfrac{\pi}{4}$ là cận dưới còn $\dfrac{3\pi}{4}$ là cận trên. Do đó nguyên hàm ban đầu trở thành:
$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} -8 \sin^2 u \, du$$
Tuy vậy điều đó là sai. Nếu $x = -2$ là cận dưới thì $t = \dfrac{3\pi}{4}$ cũng sẽ là cận dưới và tương tự với $x = 2 \implies t = \dfrac{\pi}{4}$ là cận trên. Vậy nên nguyên hàm trên trên phải là:
$$\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} -8 \sin^2 u \, du = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} 8 \sin^2 u \, du$$
Giải lại nguyên hàm trên sẽ được đáp án giống với khi đặt $x = 2\sqrt{2}\sin t$

Một cách tổng quát: Với
$$I = \int_a^b f(x) \,dx$$
Nếu đặt $x = u(t) \implies t = v(x)$ thì nguyên hàm trở thành:
$$I = \int_{v(a)}^{v(b)} g(t) \,dt$$
($v(a)$ có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn $v(b)$)