Ứng dụng của đạo hàm

[nvtmt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào các bạn. Như chúng ta biết đạo hàm là một công cụ rất hữu ích để giải Toán. Mình lập ra topic này để bàn về các ứng dụng của đạo hàm, ví dụ như:
- Tìm min max
- Chứng minh BĐT
- Giải phương trình, hệ phương trình
....
Mục đích mình lập ra topic này là để mọi người cùng nhau đưa ra thảo luận, giải những bài Toán dạng này. Ai có bài hay, có phương pháp hay thì chia sẻ với mọi người nhé. Mong các bạn ủng hộ topic này. Xin cảm ơn!
Để mở đầu mình đưa ra một số bài ^^
Bài 1: Cho [TEX]x,y,z\geq 0[/TEX] thoả mãn [TEX]x+y+z=1[/TEX]
Tìm min, max của biểu thức:
[TEX]P=xy+yz+zx-2xyz[/TEX]
Bài 2: Cho [TEX]x,y,z\geq 0[/TEX] thoả mãn [TEX]x\geq y\geq z[/TEX]
Chứng minh rằng: [TEX]\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq x^2+y^2+z^2[/TEX]
Bài 3: Chứng minh: [TEX]cosx\leq 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}[/TEX] với mọi [TEX]x\geq 0[/TEX]
Bài 4: Chứng minh: [TEX]\sqrt[3]{43}<\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}<\sqrt[3]{44}[/TEX]
Bài 5: Chứng minh: [TEX]2(x^3+y^3+z^3)-(x^2y+y^2z+z^2x)\leq3[/TEX] với mọi [TEX]x,y,z[/TEX] thuộc [TEX][0;1][/TEX]
Thanks các bạn đã ủng hộ topic!

 

[vanhophb]

hè hè
cm bài này :
1) cho mọi a,b,c tm :[TEX]a+b+c=2[/TEX]
cm : a[TEX]^4+b^4+c^4+abc\geq a^3+b^3+c^3[/TEX]
2) cho mội a.b,c tm [TEX]a+b+c =2[/TEX]
cm[TEX] 3(a^4+b^4+c^4)-2(a^3+b^3+c^3)-3(a^2+b^2+c^2)\geq -4[/TEX]

 

[chichi_huahua]

sao toàn đề mà không có ai giải thế này!! Mọi người giải đi cho mình tham khảo với!!!!!!!!!

 

[nvtmt]

Mọi người vào giải đi chứ? Thêm một bài nè :
Chứng minh:
[TEX]\frac{2}{3}(sinA+sinB+sinC) +\frac{1}{3}(tan+tanB+tanC)>\pi[/TEX]

Quả này dễ thôi.
Ai làm mấy bài trên đi. Các cao thủ vào giải toán cho mọi người học hỏi với.

 

[nvtmt]

Bài toán mới

Thầy mới ra cho một câu nữa. Khó, nghĩ mãi ko ra. Nhờ các cao thủ giúp:
Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác, chứng minh rằng:
[TEX]\frac{1+cos{\frac{A}{2}}}{A}+\frac{1+cos{\frac{B}{2}}}{B}+\frac{1+cos{\frac{C}{2}}}{C}>3\sqrt{3}[/TEX]
Ai làm đc tui thanks liền. Mấy bài trên sao ko có ai giải vậy?
:khi (152)::khi (152)::khi (152)::khi (152)::khi (152)::khi (152)::khi (45)::khi (45)::khi (45)::khi (45):

 

[nvtmt]

Tui làm bài 4 hem. Mong có nhiều người ủng hộ topic của tui hơn!
Đặt [TEX]x=\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}[/TEX]
Ta có:
[TEX]x^3= 3+9 + 3\sqrt[3]{27}(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})= 12+9x \Leftrightarrow x^3-9x-12=0[/TEX]
Xét hàm số: [TEX]y=x^3-9x-12[/TEX]
[TEX]y'=3x^2-9[/TEX]
Trên [TEX](\sqrt{3},duongvocung )[/TEX] thì y' > 0 ===> y đồng biến
Do [TEX]\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}>\sqrt{3}, \sqrt[3]{43}>\sqrt{3},\sqrt[3]{44}>\sqrt{3}[/TEX] nên chỉ cần so sánh [TEX]y(\sqrt[3]{43}) [/TEX] , [TEX]y(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})[/TEX] và [TEX]y(\sqrt[3]{44})[/TEX]
Ta có: [TEX]y(\sqrt[3]{43})=31-9\sqrt[3]{43}<0[/TEX]
[TEX]y( \sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})=0[/TEX]
[TEX]y(\sqrt[3]{44})=32-9\sqrt[3]{44}>0[/TEX]
Suy ra [TEX]y(\sqrt[3]{43})<y(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})<y(\sqrt[3]{44})[/TEX]
Suy ra điều phải chứng minh.

 

[nvtmt]

Bài 2: gợi ý chia cả 2 vế cho [TEX]z^2[/TEX]
:khi (61)::khi (61)::khi (61)::khi (61)::khi (189)::khi (189)::khi (189)::khi (189):

 

[quoctuan92]

Bài 2: Cho x,y,z\geq 0 thoả mãn x\geq y\geq z
Chứng minh rằng: \frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq x^2+y^2+z^2

Quy đồng nhân chéo được :
x^3y^2 + y^3z^2 + z^3x^2 >= xyz(x^2 + y^2 + z^2) (* )
Chia 2 vế cho y^5 và đặt x/y = u ; z/y = v Vì x >= y>= z >0 nên u >= 1 >= v >0
(* ) <=> u^3 + v^2 + u^2v^3 - u^3v - uv - uv^3 >=0
Xét f(u) = VT
f'(u) = 2(3 - 3v)u^2 + 2v^3u - v^3 - v
f''(u) = 2(3 - 3v)u + 2v^3
Thấy f''(u) >= 0 với mọi u >= 1 >= v >0 => hàm số f'(u) đồng biến từ 1 đến ... => f'(u) >= f'(1) = v^3 - 4v +3 >= 0 (Xét hàm f(v) trên [O;1] có min = f(1))
=> f(u) đồng biến từ 1 đến ... => f(u) >= f(1) = v^2 - 2v + 1 >= 0 => (*) đúng => đpcm
Dấu bằng xảy ra khi u = v = 1 <=> x = y = z

 

[quoctuan92]

Bài 1: Cho x,y,z\geq 0 thoả mãn x+y+z=1
Tìm min, max của biểu thức:
P=xy+yz+zx-2xyz

Theo điều kiện thì 0 <= x;y;z <= 1 và có y = 1 - x - z
P = (2z - 1)x^2 + (2z^2 - 3z + 1)x + z - z^2
* Với z = 1/2 thì P = 1/4
* Với 0 <= z < 1/2 thì 1/4 < (1 - z)/2 <= 1/2
 Lập bảng biến thiên cho hàm số f(x) trên [0;1]. hàm số đồng biến trên [0 ; (1 - z)/2] và nghịch biến trên [(1 - z)/2 ; 1]
 Vì 1/4 < (1 - z)/2 <= 1/2 nên maxf(x) = f((1 - z)/2) = (1 - z)((z^2)/2 + z/4 +1) và minf(x) = f(1)
 _Xét f(z) = (1 - z)((z^2)/2 + z/4 +1) trên [0 ; 1]\{1/2} có maxf(z) = 1 khi z = 0 => maxf(x) = maxf(z) = 1 khi z = 0 ; x = (1 - z)/2 = 1/2 ; y = 1 - x - z = 1/2
 _minf(x) = f(1) = z ^2 = 0 khi x = 1 ; z = 0 ; y = 1 - x - z = 0
* Với 1/2 < z <= 1 thì 0 <= (1 - z)/2 < 1/4
 Làm tương tự ( chú ý là hàm số nghịch biến [0 ; (1 - z)/2] và đồng biến trên [(1 - z)/2 ; 1] )

Kết luận .... (do vai trò của x ; y ; z là hoàn toàn bình đẳng nên có thể hoán vị chúng với nhau)

@nvtmt : Bài ở đâu ra mà vl thế nhỉ!? Ông bạn học ở đâu vậy? Cho tôi tham gia học với!

 

[nvtmt]

@nvtmt : Bài ở đâu ra mà vl thế nhỉ!? Ông bạn học ở đâu vậy? Cho tôi tham gia học với!

vl nghĩa là gì? Mà ông xem cách gõ công thức Toán để mà gõ, chứ gõ như thế này ai dịch đuợc.>-

 

[quoctuan92]

@nvtmt : Ông bạn có học ở loanh quanh Hà Nội này thì cho tôi tham gia với!

 

[nvtmt]

:d

Thầy mới ra cho một câu nữa. Khó, nghĩ mãi ko ra. Nhờ các cao thủ giúp:
Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác, chứng minh rằng:
[TEX]\frac{1+cos{\frac{A}{2}}}{A}+\frac{1+cos{\frac{B}{2}}}{B}+\frac{1+cos{\frac{C}{2}}}{C}>3\sqrt{3}[/TEX]
Ai làm đc tui thanks liền. Mấy bài trên sao ko có ai giải vậy?
:khi (152)::khi (152)::khi (152)::khi (152)::khi (152)::khi (152)::khi (45)::khi (45)::khi (45)::khi (45):

quoctuan đọc cách gõ công thức Toán đi, ko khó đâu, dễ lắm. Tôi chưa làm đc bài này, thử sức đi. Tôi ở tận Nghệ An cơ. Lúc nào vào topic phương trình của tôi, tôi chuẩn bị post mấy bài hay lắm ( chưa giải đc).

 

[quoctuan92]

Chịu thôi! Mệt đầu lắm! @-) Ở tận Nghệ An cơ à!? Tưởng gần. Chán nhể!

Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác, chứng minh rằng:
\frac{1+cos{\frac{A}{2}}}{A}+\frac{1+cos{\frac{B}{ 2}}}{B}+\frac{1+cos{\frac{C}{2}}}{C}>3\sqrt{3}

Mấy bài kia thấy khó quá! :| Bài nào có giải rồi thì ông post lên cho anh em tham khảo đi

 

[quoctuan92]

Bài 3: Chứng minh: cosx\leq 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24} với mọi x\geq 0

Với mọi x thuộc R cũng được chứ cần gì phải lớn hơn hoặc bằng 0 nhể ??

Từ khi cha sinh mẹ đẻ đến giờ mình mới thấy công cụ đạo hàm nó thật là ảo! :x

 

[quoctuan92]

Lúc nào vào topic phương trình của tôi, tôi chuẩn bị post mấy bài hay lắm ( chưa giải đc).

Mong chờ từng giờ từng phút.
Tôi cũng có hẹ phương trình này chưa giải được nè.

Cái này là ngồi buồn buồn tự nhiê nghĩ ra mà tự mình cóc giải được X-(
Cô giáo mình bảo học đạo hàm của hàm số ngược (arcsin ; arccos ; ...) mới giải được. Chắc thế thật. Mà không biết cô mình có giải được không nhể !? :-j

 

[nvtmt]

Mấy bài kia tôi giải cả rồi, còn bài này thôi. Ông xem:
[TEX]f'(x)=\frac{\frac{1}{2}sin\frac{x}{2}.x-1-cos\frac{x}{2}}{x^2}[/TEX]
Làm sao như ông đc? Ông đạo hàm sai rồi.
Hướng giải chắc đúng, có người cũng bảo tôi c/m hướng đó, nhưng bận chưa c/m
Dù sao cũng thanks ông. Sửa bài đi nhé!

 

[nvtmt]

Ê, mà làm sao ông đưa ảnh từ máy tính lên đây đc vậy? Tôi chịu. Bày tôi với.

 

[quoctuan92]

À ha! Có nhầm tí xíu nhưng cũng không ảnh hưởng j` nhiều mà. Đạo hàm vẫn luôn âm. ( Chú ý là ( cosu)' = -u'sinu ) Thôi khỏi sửa lại nhé mệt
Muốn đưa ảnh lên thì đầu tiên là phải có ảnh (chụp ảnh màn hình) sau đó là upload ảnh lên 1 trang nào đó như tôi dùng http://imageshack.us rồi đặt link ảnh trong bài viết chèn trong thẻ

Bài nào có giải ông post lên đi chứ ;|

 

[nvtmt]

Tôi tưởng gì chứ upload ảnh lên rồi điền link thì bình thường wa'. Chắc ngày mai tôi post phương trình lên, hôm nay bận.

 

[thamluu]

có bài nào về kiểu ứng dụng sau đạo hàm hok pos lên đi