[TEX]y'=3x^2+m[/TEX]
Để (C) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất thì đồ thị hàm số phải (1) không có cực trị, hoặc (2) có 2 điểm cực trị cùng nằm về 1 phía so với Ox.
Bonus cho cái hình minh họa cho dễ hiểu
TH1: [TEX]m \geq 0[/TEX]
Khi đó [TEX]3x^2 +m \geq 0; \forall x\in R[/TEX]
Tức hàm số luôn đồng biến và ko có cực trị.
Do đó (C) luôn cắt Ox tại 1 điểm duy nhất.
Vậy [TEX]m\geq 0[/TEX] thỏa mãn
TH2: [TEX]m<0[/TEX]
[TEX]y'=0 \Leftrightarrow 3x^2 + m=0[/TEX] [TEX](*)[/TEX]
Phương trình này cho 2 nghiệm phân biệt là:
[TEX]\Leftrightarrow\left[\begin{x_1=-\sqrt{-\frac{m}{3}}}\\{x_2=\sqrt{-\frac{m}{3}}} [/TEX] [TEX](I)[/TEX]
* Chia y cho y' ta được: [TEX]y= (\frac{1}{3}x).y' +(\frac{2m}{3}x+1)[/TEX]
Tại cực trị thì y' = 0 nên [TEX]y=\frac{2m}{3}x+1[/TEX].
Đây chính là pt đường thẳng qua 2 cực trị.
Ta có:[TEX]y_1.y_2 = (\frac{2m}{3}x_1+1).(\frac{2m}{3}x_2+1)[/TEX]
[TEX]=\frac{4m^2}{9}x_1.x_2+\frac{2m}{3}(x_1+x_2) +1[/TEX] [TEX](II)[/TEX]
Đến đây có thể làm theo Viet cho pt [TEX](*)[/TEX], hoặc có thể suy ra trực tiếp từ [TEX](I)[/TEX]:
[TEX]x_1+x_2=0[/TEX]
[TEX]x_1.x_2=\frac{m}{3}[/TEX]
Thế vào [TEX](II)[/TEX] ta được:
[TEX]y_1.y_2 =\frac{4m^2}{9}.\frac{m}{3}+0 +1 =\frac{4m^3}{27}+1[/TEX]
Để (C) cắt Ox tại đúng 1 điểm thì 2 cực trị phải nằm cùng 1 phía so với Ox.
Hay [TEX]y_1.y_2 >0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{4m^3}{27}+1 >0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow m> -\frac{3}{\sqrt[3] 4}[/TEX]
Kết hợp với điều kiện đã nói ở đầu TH2 ta có: [TEX] -\frac{3}{\sqrt[3] 4} < m < 0[/TEX]
Tổng hợp TH1 và TH2 ta có: [TEX]m> -\frac{3}{\sqrt[3] 4} [/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
