Toán 9 Tứ giác nội tiếp

[SieuNhanCuHanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. M là một điểm chạy trên nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB. Pg các góc MAH và MBH cắt nhau ở I. Pg các góc AMH, BMH tương ứng cắt IA, IB ở K, L. Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn đã cho để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IKL lớn nhất

 

[7 1 2 5]

Kéo dài MK,ML cắt BC tại C,D.
Ta thấy: [tex]\widehat{CMB}=\widehat{HMB}+\widehat{HMC}=\widehat{MAH}+\widehat{AMC}=\widehat{MCB}\Rightarrow[/tex] BMC cân tại B
Mà BL là phân giác [TEX]\widehat{MBC}[/TEX] nên BL là trung trực MC.
Tương tự ta cũng có CK là trung trực MD. Từ đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp MCD.
Vẽ IN vuông với CD. Ta có [tex]\widehat{CID}=2\widehat{CMD}=90^o[/tex]
Tam giác CID vuông tại I có IN là trung tuyến nên [tex]IN=\frac{CD}{2}[/tex]
Lại có: M đối xứng với C qua BL nên [tex]\widehat{BCL}=\widehat{BML}=\widehat{HML}=90^o-\widehat{LDC} \Rightarrow \widehat{DCL}+\widehat{LDC}=90^o \Rightarrow \widehat{CLD}=90^o[/tex]
Từ đó L thuộc (N,NA).
Tương tự thì K cũng thuộc (N). Từ đó bán kính đường tròn ngoại tiếp IKL là IN hay bán kính đường tròn nội tiếp MAB.
Vẽ IE và IF vuông với MA,MB thì [tex]IE=IF=IN[/tex]
Lại dễ thấy MIE vuông cân tại E nên IE = ME.
Từ đó [tex]AM+MB-AB=AE+EM+BF+FM-AN-BN=(AE-AN)+(BF-BN)+EM+FM=2IN[/tex]
Mà [tex]AM+MB \leq \sqrt{2(AM^2+MB^2)}=\sqrt{2}AB[/tex]. Dấu "=" xảy ra khi M giữa cung AB.
Từ đó IN max khi M giữa cung AB.