Toán 9 Tứ giác nội tiếp

[Lena1315]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. AC cắt BD ở E. H là hình chiếu vuông góc của E trên AD, I là trung điểm DE. Chứng minh B, C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn.

 

[7 1 2 5]

Dễ thấy: ABEH nội tiếp [tex]\Rightarrow \widehat{HBE}=\widehat{HAE}[/tex]
Lại có: [tex]\widehat{HCE}+\widehat{HCI}+\widehat{ICD}=90^o[/tex]
Mà [tex]\widehat{HCE}=\widehat{HDE}(HECD nội tiếp);\widehat{ICD}=\widehat{IDC}(do IC=ID=\frac{1}{2}DE)=\widehat{BAC}\Rightarrow \widehat{HCI}+\widehat{HDE}+\widehat{BAC}=90^o[/tex]
Mà [tex]\widehat{CAD}+\widehat{HDE}+\widehat{BAC}=90^o\Rightarrow \widehat{CAD}=\widehat{HCI}\Rightarrow \widehat{HCI}=\widehat{HBI}\Rightarrow[/tex] HBCI nội tiếp(1)
Lại có: OI là đường trung bình của tam giác AED [tex]\Rightarrow OI//AE\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{OIE}[/tex]
Mà ABEH nội tiếp [tex]\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{AHB}\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{OIB}\Rightarrow[/tex]OBIH nội tiếp(2)
Từ (1) và (2) [TEX]\Rightarrow[/TEX] B,C,I,O,H cùng thuộc 1 đường tròn.