Toán 8 tứ giác điều hòa rất khó

cuduckien

Học sinh
Thành viên
28 Tháng bảy 2022
88
61
21
Phú Thọ

7 1 2 5

TMod Toán
Cu li diễn đàn
19 Tháng một 2019
6,710
11,249
1,116
16
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
Cho tứ giác ABCD có AB+CD=AD+BC (AB<AD).CMR: tia phân giác các góc tứ giác ABCD đồng quy.
Mn giải gấp hộ mk với.
cuduckienGọi giao điểm của phân giác tại góc [imath]A,B[/imath] là [imath]I[/imath]. Vẽ [imath]IM,IN,IP,IQ[/imath] lần lượt vuông góc với [imath]AB,BC,CD,DA[/imath] tại [imath]M,N,P,Q[/imath].
Khi đó theo tính chất đường phân giác ta có [imath]AM=AQ,BM=BN[/imath]
[imath]\Rightarrow AB=AQ+BN \Rightarrow CD=AD+BC-(AQ+BN)=DQ+CN[/imath]

Nếu [imath]AB \parallel CD[/imath] và [imath]AD \parallel BC[/imath] thì dễ thấy [imath]ABCD[/imath] phải là hình thoi, khi đó các phân giác của các góc đồng quy tại tâm hình thoi.
Nếu điều trên không xảy ra, không mất tính tổng quát giả sử [imath]AD[/imath] không song song với [imath]BC[/imath].
Gọi [imath]K[/imath] là giao điểm [imath]AD[/imath] với [imath]BC[/imath], [imath](I)[/imath] là đường tròn nội tiếp [imath]\Delta KCD[/imath].
Vẽ [imath]IN,IP,IQ[/imath] vuông góc với [imath]KC,CD,DK[/imath] tại [imath]N,P,Q[/imath].
Khi đó ta có [imath]KN=KQ,CN=CP,DP=DQ[/imath].
Mặt khác, từ giả thiết ta có [imath]AB+CD=AD+CB \Rightarrow AQ+BN=AB[/imath]
[imath]\Rightarrow KA+KB+AB=KA+KB+AQ+BN=KQ+KN=2KQ[/imath]
Gọi [imath](I')[/imath] là tâm đường tròn bàng tiếp góc [imath]K[/imath] của [imath]\Delta KAB[/imath] và [imath](I')[/imath] tiếp xúc với [imath]KA,KB,AB[/imath] tại [imath]Q',N',M[/imath].
Khi đó [imath]KQ'=KN',AM=AQ',BN'=BM[/imath] nên [imath]KA+KB+AB=KA+KB+AQ'+BN'=KQ'+KN'=2KQ'[/imath]
Từ đó [imath]KQ'=KQ[/imath] nên [imath]Q \equiv Q' \Rightarrow N \equiv N', I \equiv I'[/imath].
Suy ra các tia phân giác của góc [imath]ABCD[/imath] đồng quy tại I.


Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Tổng hợp các bài toán hình học 8 thường gặp
 
Top Bottom