Toán 9 Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R)

[Quan912]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 7 (2,5 điểm)
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là hai tiếp điểm)
a) Tính góc MAO và chứng minh góc MAB = góc MBA
b) Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt AB và MB lần lượt tại I.S
= Chứng minh : tam giác SOM cân ở S và SI + SO = MB
c) Gọi G là đối xứng của O qua S. MO cắt AG ở E và cắt AB ở H. Chứng minh : EH.EO<[tex]EG^{2}[/tex]

Cho em hỏi câu c bài này chứng minh sao ạ. Em cảm ơn

 

[iceghost]

Nếu bí quá, bạn có thể thử tính hết tất cả theo $\alpha = \widehat{MOG}$ và $x = MO$:

Ta có: $AM = x \cos \alpha$

$OG = \dfrac{x}{\cos \alpha}$

Tỉ lệ đồng dạng: $\dfrac{ME}{MA} = \dfrac{EO}{OG}$ hay $\dfrac{ME}{x \cos \alpha} = \dfrac{EO}{x / \cos \alpha} = \dfrac{ME + EO}{x \cos \alpha + x / \cos \alpha} = \dfrac{1}{\cos \alpha + {1}/{\cos \alpha}}$

Suy ra $ME = \dfrac{x \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha + 1}$ và $EO = \dfrac{x}{\cos^2 \alpha + 1}$


Ta có: $MH = \dfrac{MA^2}{MO} = x \cos^2 \alpha$

Suy ra $EH = MH - ME = \dfrac{x \cos^4 \alpha}{\cos^2 \alpha + 1}$

Ta có: $EG^2 = MG^2 + ME^2 = x^2 \tan^2 \alpha + \dfrac{x^2 \cos^4 \alpha}{(\cos^2 \alpha + 1)^2}$

Như vậy: đpcm: $EH \cdot EO < EG^2$

$\iff \dfrac{x^2 \cos^4 \alpha}{(\cos^2 \alpha + 1)^2} < x^2 \tan^2 \alpha + \dfrac{x^2 \cos^4 \alpha}{(\cos^2 \alpha + 1)^2}$

$\iff 0 < x^2 \tan^2 \alpha$ (đúng do $0 < \alpha < 90^\circ$)

Như vậy ta có đpcm.


Để ý rằng, khi làm như vậy, ta phát hiện một điều đặc biệt là $EH \cdot EO = EM^2$! Nếu chứng minh được điều này thì lời giải sẽ ngắn hơn nhiều lắm luôn Bạn thử suy nghĩ chứng minh cái này nhé, chúc bạn thành công!

 

[haulele]

Bài 7 (2,5 điểm)
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là hai tiếp điểm)
a) Tính góc MAO và chứng minh góc MAB = góc MBA
b) Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt AB và MB lần lượt tại I.S
= Chứng minh : tam giác SOM cân ở S và SI + SO = MB
c) Gọi G là đối xứng của O qua S. MO cắt AG ở E và cắt AB ở H. Chứng minh : EH.EO<[tex]EG^{2}[/tex]

Cho em hỏi câu c bài này chứng minh sao ạ. Em cảm ơn

Câu c:
1) SO=SG mà SM=SO => tam giác GMO vuông tại M.
GM vuông OM và AH vuông OM => GM//AH
Theo Thales GE/EA=ME/EH (1)
Mặt khác GO//MA (cùng vuông OA)
Theo Thales GE/EA=EO/ME (2)
Từ 1 và 2 => EO.EH= ME^2
Mà trong tam giác vuông GME thì cạnh huyền GE>ME
=> GE^2>EO.EH