Ta sẽ tổng quát bài toán thành [TEX]n[/TEX] chữ số.
Lần lượt gọi [TEX]A_n,B_n,C_n,D_n[/TEX] là tập hợp các số có n chữ số và: có lẻ chữ số 1 và chẵn chữ số 2, lẻ chữ số 1 và lẻ chữ số 2, chẵn chữ số 1 và chẵn chữ số 2, chẵn chữ số 1 và lẻ chữ số 2. [tex]\Rightarrow |A_n|+|B_n|+|C_n|+|D_n|=9^n;A_n,B_n,C_n,D_n[/tex] đôi một không giao nhau.
Khi đó nhận thấy có 1 song ánh đi từ [TEX]A_n \rightarrow D_n[/TEX],[TEX]B_n \rightarrow C_n[/TEX] là phép biến đổi các chữ số 1 thành 2 và chữ số 2 thành 1; nên [TEX]|A_n|=|D_n|,|B_n|=|C_n|[/TEX]
Lại có:
+ Từ 1 số ở [TEX]A_n[/TEX] ta có thể tạo ra 1 số thuộc [TEX]A_{n+1}[/TEX] bằng cách thêm 1 chữ số thuộc [tex]\left \{ 3;4;5;\right \}[/tex] ở phía sau số đó. Ta thấy từ 1 số thuộc [TEX]A_n[/TEX] thì tạo ra được 3 số thuộc [TEX]A_{n+1}[/TEX]
+ Từ 1 số ở [TEX]B_n[/TEX] ta có thể tạo ra 1 số thuộc [TEX]A_{n+1}[/TEX] bằng cách thêm chữ số 2 ở phía sau số đó. Ta thấy từ 1 số thuộc [TEX]B_n[/TEX] tạo ra được 1 số thuộc [TEX]A_{n+1}[/TEX]
+ Từ 1 số ở [TEX]C_n[/TEX] ta có thể tạo ra 1 số thuộc [TEX]A_{n+1}[/TEX] bằng cách thêm chữ số 1 ở phía sau số đó. Ta thấy từ 1 số thuộc [TEX]C_n[/TEX] tạo ra được 1 số thuộc [TEX]A_{n+1}[/TEX]
+ + Từ 1 số ở [TEX]D_n[/TEX] ta không thể tạo ra 1 số thuộc [TEX]A_{n+1}[/TEX].
Từ đó ta có: [tex]|A_{n+1}|=3|A_n|+|B_n|+|C_n|[/tex]
Tương tự thì [TEX]B_{n+1}=3B_n+C_n+D_n,C_{n+1}=3C_n+D_n+A_n,D_{n+1}=3D_n+A_n+B_n[/TEX]
Từ đó [TEX]A_{n+1}+B_{n+1}+C_{n+1}+D_{n+1}=5(A_n+B_n+C_n+D_n)[/TEX]
Mà [TEX]A_1=B_1=1,B_1=C_1=0 \Rightarrow A_1+B_1+C_1+C_1=2 \Rightarrow A_{n}+B_{n}+C_{n}+D_{n}=2.5^{n-1} \Rightarrow A_{n+1}=2A_n-D_n+2.5^{n-1}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x_{n+1}=x_n+2.5^{n-1},x_1=1[/TEX]
Ta tính được [TEX]x_n=1+\frac{5^n-1}{2}[/TEX]
Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
