Toán 9 Trong mặt phẳng cho 2019 sao cho trong 3 điểm bất kì bao giờ cũng tìm được hai điểm...

[Vương Hà Phương]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong mặt phẳng cho 2019 sao cho trong 3 điểm bất kì bao giờ cũng tìm được hai điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 5. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn bán kính 5 chứa ít nhất 1010 điểm đó
Chúc tất cả mọi người làm bài tốt !

 

[tieutukeke]

Hướng suy nghĩ thế này có ổn không nhỉ?

Trong 2019 điểm đã cho, gọi A và B là hai điểm có khoảng cách xa nhất.
Nếu AB<5 => vẽ đường tròn tâm A bán kính 5, với điểm C bất kì ta luôn có AC<5 => C thuộc đường tròn (A, 5) => 2019 điểm đều thuộc đường tròn (A, 5)
Nếu AB>=5, vẽ 2 đường tròn tâm A và B bán kính 5. Với một điểm C bất kì, ta luôn có AB<5 hoặc BC<5 => điểm C luôn nằm trong đường tròn tâm A hoặc đường tròn tâm B (hoặc cả 2, ta ko cần quan tâm). Như vậy, số điểm trong mặt phẳng luôn được chia ra làm 2 phần: một phần nằm trong đường tròn tâm A và 1 phần nằm trong đường tròn tâm B. Gọi số điểm thuộc đường tròn tâm A là x thì số điểm thuộc đường tròn B luôn >= 2019-x. Nếu x<1010 thì 2019-x>=1010, nếu x>=1010 thì bài toán đương nhiên thỏa mãn.

Vậy luôn vẽ được một đường tròn bán kính 5 chứa ít nhất 1010 điểm

 

[Vương Hà Phương]

Hướng suy nghĩ thế này có ổn không nhỉ?

Trong 2019 điểm đã cho, gọi A và B là hai điểm có khoảng cách xa nhất.
Nếu AB<5 => vẽ đường tròn tâm A bán kính 5, với điểm C bất kì ta luôn có AC<5 => C thuộc đường tròn (A, 5) => 2019 điểm đều thuộc đường tròn (A, 5)
Nếu AB>=5, vẽ 2 đường tròn tâm A và B bán kính 5. Với một điểm C bất kì, ta luôn có AB<5 hoặc BC<5 => điểm C luôn nằm trong đường tròn tâm A hoặc đường tròn tâm B (hoặc cả 2, ta ko cần quan tâm). Như vậy, số điểm trong mặt phẳng luôn được chia ra làm 2 phần: một phần nằm trong đường tròn tâm A và 1 phần nằm trong đường tròn tâm B. Gọi số điểm thuộc đường tròn tâm A là x thì số điểm thuộc đường tròn B luôn >= 2019-x. Nếu x<1010 thì 2019-x>=1010, nếu x>=1010 thì bài toán đương nhiên thỏa mãn.

Vậy luôn vẽ được một đường tròn bán kính 5 chứa ít nhất 1010 điểm

vì sao AB lại là hai điểm có khoảng cách xa nhất ? Và sao AC lại < 5

 

[tieutukeke]

Nếu AB>=5, vẽ 2 đường tròn tâm A và B bán kính 5. Với một điểm C bất kì, ta luôn có AB<5 hoặc BC<5

Đoạn này mình gõ nhầm, với C bất kì ta luôn có AC<5 hoặc BC<5.

vì sao AB lại là hai điểm có khoảng cách xa nhất ? Và sao AC lại < 5

AB không phải là 2 điểm có k/c xa nhất, mà là 2 điểm có k/c xa nhất được chọn và được đặt tên là A và B. Trong 2019 điểm luôn phải có 2 điểm có k/c xa nhất, và ta chọn chúng là mốc để biện luận.
Còn nếu bạn vẫn lăn tăn "chọn thế quái nào được, vô lý" thì mình sẽ hạ thấp tiêu chuẩn xuống cho dễ hiểu, chọn A và B là hai điểm có k/c lớn hơn hoặc bằng 5 bất kì. Sau đó lý luận y hệt như cũ.