Hướng suy nghĩ thế này có ổn không nhỉ?
Trong 2019 điểm đã cho, gọi A và B là hai điểm có khoảng cách xa nhất.
Nếu AB<5 => vẽ đường tròn tâm A bán kính 5, với điểm C bất kì ta luôn có AC<5 => C thuộc đường tròn (A, 5) => 2019 điểm đều thuộc đường tròn (A, 5)
Nếu AB>=5, vẽ 2 đường tròn tâm A và B bán kính 5. Với một điểm C bất kì, ta luôn có AB<5 hoặc BC<5 => điểm C luôn nằm trong đường tròn tâm A hoặc đường tròn tâm B (hoặc cả 2, ta ko cần quan tâm). Như vậy, số điểm trong mặt phẳng luôn được chia ra làm 2 phần: một phần nằm trong đường tròn tâm A và 1 phần nằm trong đường tròn tâm B. Gọi số điểm thuộc đường tròn tâm A là x thì số điểm thuộc đường tròn B luôn >= 2019-x. Nếu x<1010 thì 2019-x>=1010, nếu x>=1010 thì bài toán đương nhiên thỏa mãn.
Vậy luôn vẽ được một đường tròn bán kính 5 chứa ít nhất 1010 điểm