chắc bạn đã vẽ đc hình rồi, bạn thấy là A và B đều thuộc mặt phẳng Oxy còn C di động trên trục Oz.
A = (5, 0, 0)
B = (3, 4, 0)
C = (0, 0, a)
H là trực tâm tam jác CAB, nếu gọi OM là đường cao trong tam jác OAB, thì ta thấy là CM vuông góc AB do AB vuông góc mp OCM, tức là H thuộc CM. mặt phẳng OCM này luôn cố định nên ta nhận thấy H sẽ nằm trong mp này.
Ở đây vì đã cho các tọa độ rồi, nên ta tính toán theo kiểu hình học giải tích sẽ phù hợp hơn.
H = (x, y, z).
Đk để H là trực tâm tức là CH vuông góc AB (hay OH vuông góc AB) và BH vuông góc AC
Ta tính các vectơ: [tex]\overrightarrow{OH} = (x, y, z)[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB} = (-2, 4, 0)[/tex]
[tex]\overrightarrow{BH} = (x-3, y-4, z)[/tex]
[tex]\overrightarrow{AC} = (-5, 0, a)[/tex]
Giải các đk [tex]\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{AB} = 0[/tex] và [tex]\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0[/tex]
ta sẽ có các ràng buộc: x = 2y và 5x - a.z = 15
1 đk nữa là H cũng thuộc đường thẳng CM, ta sẽ giải đk này:
Ta tính tọa độ M trước, M là chân đường cao OM trong tam giác OAB, các điểm O, A, B biết rồi, bạn jải 2 điều kiện là [tex]\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{AB} = 0[/tex] và M thuộc đường thẳng AB, ta sẽ tính đc tọa độ M = (4, 2, 0).
Bây jờ để jải đk H thuộc CM, ta lập pt tham số của CM và cho đk H thỏa mãn pt đó.
[tex]\overrightarrow{CM} = (4, 2, -a)[/tex] nên pt tham số CM là: x = 4t, y = 2t, z = a - at. Giải đk H thỏa mãn pt này ta sẽ đi đến 1 ràng buộc nữa về tọa độ của H là: [tex]y = \frac{2a^{2}+30}{a^{2}+20}[/tex]
cuối cùng, bạn tính đc tọa độ của H phụ thuộc tham số a là:
[tex]H = (\frac{4a^{2}+60}{a^{2}+20}; \frac{2a^{2}+30}{a^{2}+20}; \frac{5a}{a^{2}+20})[/tex]
nhìn vào tọa độ H, bạn thử xem nó biến thiên ntn, a = 0 thì C trùng O và H trùng với trực tâm tam jác OAB. a tiến ra vô cùng thì H tiến đến (4, 2, 0) chính là tọa độ M. Như vậy ta dự đoán là H có thể nằm trên đường tròn đường kính IM trong mp(M, Oz), với I là trực tâm tam jác OAB.
Để kiểm tra điều này, ta tính các vectơ [tex]\overrightarrow{IH}, \overrightarrow{HM}[/tex] và tính tích vô hướng của chúng, nếu = 0 thì nghĩa là dự đoán của ta đúng.
Trước hết tính tọa độ I là trực tâm tam jác OAB, I thuộc mp Oxy nên tọa độ z luôn = 0, giải 2 đk nữa là I thuộc OM và BI vuông góc OA, bạn tính đc tọa độ I = (3, 3/2, 0) (chú ý là tọa độ của I cũng có thể suy ra từ tọa độ của H khi cho a = 0, lúc đó H trùng I).
Ta tính các vectơ:
[tex]\overrightarrow{IH} = (\frac{a^{2}}{a^{2}+20}; \frac{a^{2}}{2(a^{2}+20)}; \frac{5a}{a^{2}+20})[/tex]
[tex]\overrightarrow{HM} = (\frac{20}{a^{2}+20}; \frac{10}{a^{2}+20}; -\frac{5a}{a^{2}+20})[/tex]
Ta thấy tích vô hướng 2 vectơ này = 0. Vậy tức là H luôn thuộc đường tròn đường kính IM trong mp(M, Oz).
và bán kính = [tex]\frac{\sqrt{5}}{4}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
