Toán 12 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $(S): x^2+y^2+(z+ \sqrt 2)^2 = 3$

[CAO TÂM]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $(S): x^2+y^2+(z+ \sqrt 2)^2 = 3$. Có tất cả bao nhiêu điểm $A(a;b;c)$ ( a;b;c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của (S) qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
A. 12
B. 8
C. 16
D. 4



(ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIÊP THPT - TUYENSINH247)

 

[Alice_www]

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $(S): x^2+y^2+(z+ \sqrt 2)^2 = 3$. Có tất cả bao nhiêu điểm $A(a;b;c)$ ( a;b;c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của (S) qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
A. 12
B. 8
C. 16
D. 4
(ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIÊP THPT - TUYENSINH247)

Gọi $I(0,0,-\sqrt2)$ là tâm của hình cầu
Do $d(I,(Oxy))=\sqrt2<\sqrt3$ nên $A$ có thể nằm trên mặt cầu hoặc ngoài mặt cầu
$A\in (Oxy)$ nên $A(x,y,0)$
$\vec{IA}=(x,y,\sqrt2)$
TH1: $A\in (S)$
$AI=\sqrt3\Rightarrow x^2+y^2+2=3\Rightarrow x^2+y^2=1$
Mà $x,y$ nguyên nên $(x,y)=\{(0,1);(1,0);(0,-1);(-1,0)\}$
TH2: $A\notin (S)$
Các tiếp tuyến của $A$ là một hình nón
Gọi 2 tiếp điểm của hai tiếp tuyến lần lượt là $M,N$
Để có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì $\widehat{MAN}\ge 90^\circ$
$\Rightarrow \widehat{MAI}\ge 45^\circ\Rightarrow \sin \widehat{MAI}\ge \dfrac{\sqrt2}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{IM}{IA}\ge \dfrac{\sqrt2}{2}\Rightarrow IA\le \sqrt6$
$\Rightarrow x^2+y^2+2\le 6$
$\Rightarrow x^2+y^2=4$ hoặc $x^2+y^2=2$
Mà $x,y$ nguyên nên $(x,y)=\{(0,2);(2,0);(0,-2);(-2,0);(1,-1);(1,1);(-1,1);(-1;-1)\}$
Vậy có tất cả 12 điểm $A$ thỏa
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé <3
Ngoài ra em có thể tham khảo thêm các kiến thức tại: https://diendan.hocmai.vn/threads/t...o-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/#post-4045397

 

[NgocLan0]

Tại sao góc MAN phải lớn hơn bằng 90° vậy ạ?

 

[NgocLan0]

Gọi $I(0,0,-\sqrt2)$ là tâm của hình cầu
Do $d(I,(Oxy))=\sqrt2<\sqrt3$ nên $A$ có thể nằm trên mặt cầu hoặc ngoài mặt cầu
$A\in (Oxy)$ nên $A(x,y,0)$
$\vec{IA}=(x,y,\sqrt2)$
TH1: $A\in (S)$
$AI=\sqrt3\Rightarrow x^2+y^2+2=3\Rightarrow x^2+y^2=1$
Mà $x,y$ nguyên nên $(x,y)=\{(0,1);(1,0);(0,-1);(-1,0)\}$
TH2: $A\notin (S)$
Các tiếp tuyến của $A$ là một hình nón
Gọi 2 tiếp điểm của hai tiếp tuyến lần lượt là $M,N$
Để có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì $\widehat{MAN}\ge 90^\circ$
$\Rightarrow \widehat{MAI}\ge 45^\circ\Rightarrow \sin \widehat{MAI}\ge \dfrac{\sqrt2}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{IM}{IA}\ge \dfrac{\sqrt2}{2}\Rightarrow IA\le \sqrt6$
$\Rightarrow x^2+y^2+2\le 6$
$\Rightarrow x^2+y^2=4$ hoặc $x^2+y^2=2$
Mà $x,y$ nguyên nên $(x,y)=\{(0,2);(2,0);(0,-2);(-2,0);(1,-1);(1,1);(-1,1);(-1;-1)\}$
Vậy có tất cả 12 điểm $A$ thỏa
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé <3
Ngoài ra em có thể tham khảo thêm các kiến thức tại: https://diendan.hocmai.vn/threads/t...o-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/#post-4045397

Tại sao góc MAN phải lớn hơn bằng 90° vậy ạ?