TOPIC tổng hợp các bài hình học giải tích phẳng khó và lạ

[duynhan1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng khó và lạ
​

Nhằm chuẩn bị cho kỳ thi đại học sắp tới, mình lập TOPIC này để tổng hợp các bài toán hình học giải tích phẳng khó và lạ để chúng ta không bối rối khi gặp chúng.
___________________________________________________________

Nội quy:
- Tất cả các bài viết đều phải sử dụng $\LaTeX$ và giải đến kết quả cuối cùng (hoặc có thể nêu hướng nhưng phải chắc chắn rằng hướng đó có thể ra đến kết quả cuối cùng).
- Các bài tập không phù hợp với tiêu chí của TOPIC sẽ được dời sang TOPIC khác.
- Các bài tập phải được đánh số thứ tự, dùng màu xanh và in đậm, ví dụ: Bài 1.
- Khuyến khích dùng Font Times New Roman và Size 4 trong bài viết.
- Các bài viết sai quy định sẽ bị xóa mà không cần thông báo
____________________________________________________________
Chúng ta bắt đầu nào

Bài 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $(C):\ x^2-2x+y^2-4y-4=0$. Tìm điểm M thuộc đường thẳng $y=4$ sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) và AB đi qua điểm E(2;3).

 

[hoanghondo94]

Bài 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn $(C):\ x^2-2x+y^2-4y-4=0$. Tìm điểm M thuộc đường thẳng $y=4$ sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) và AB đi qua điểm E(2;3).

Mở hàng cho Duy Nhân , ế từ sáng tới giờ =))

$I(1;2)$

Gọi $\ M(m; 4)$ thuộc $y=4$. Giả sử điểm $\ H(x \ ; \ y)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ $\ M$ đến đường tròn.
Khi đó : $$\begin{cases} H \in (C) \\\\ \overrightarrow{MH}. \overrightarrow{IH}=0 \end{cases} \quad (1)$$
Với : $$ \overrightarrow{MH}=(x-m \ ; \ y-4) \ ; \ \overrightarrow{IH}=(1-x \ ; \ y-2)$$
Lúc đó hệ phương trình $\ (1)$ trở thành :$$\begin{cases}x^2-2x+y^2-4y-4=0 \\ (x-m)(x-1)+(y-4)(y-2)=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x^2-2x+y^2-4y-4=0 \quad (2) \\ x^2+y^2-(m+1)x-6y+m-8=0 \quad(3) \end{cases}$$
Lấy $ \ (3) - (2) $ vế theo vế ta có phương trình :$$ (1-m)x+2y+m-4=0$$

Điều này chứng tỏ đường thẳng đi qua hai tiếp điểm $ \ A \ , \ B$ có phương trình $\ AB$ là : $ (1-m)x+2y+m-4=0$


Theo giả thiết ta có $ \ E(2;3) \in AB$ nên $ (1-m)2+2.3+m-4=0 \Leftrightarrow m=4$.

Vậy $ \ m =4$ là giá trị cần tìm
_Bổ sung: duynhan1______________________________________________________________
Tóm lại qua bài này ta có, với A, B là 2 tiếp tuyến kẻ từ $M(x_o;y_o)$ tới đường tròn $(C):\ (x-a)^2+(y-b)^2= R^2$ thì ta có phương trình đường thẳng AB là: $(x_o-a)(x-a) + (y_o-b)(y-b) = R^2$
* Chứng minh:
Đường tròn (C) có:
+ Tâm $I(a;b)$.
+ Bán kính R.
Gọi $A(m;n)$ là 1 tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M, do $A \in (C)$ nên ta có: $$(m-a)^2+(n-b)^2 = R^2$$ $\vec{IA} = (m-a;n-a)$.
Phương trình đường thẳng AM là: $$\begin{aligned}AM:\ & (m-a)(x-m) + (n-b)(y-n) = 0 \\ \Leftrightarrow & (m-a)(x-a) + (n-b)(y-b) = (m-a)^2 + (n-b)^2= R^2 \end{aligned}$$
Do $M \in MA$ nên ta có: $(x_o-a)(m-a) + (y_o-b)(n-b) = R^2 $
Do đó A thuộc đường thẳng $\Delta:\ (x_o-a)(m-a) + (y_o-b)(n-b) = R^2$
Tương tự ta cũng có $B \in \Delta$
Vậy phương trình đường thẳng AB là: $(x_o-a)(m-a) + (y_o-b)(n-b) = R^2 $
____________________________________________________________


Bài 2 : Trong mặt phẳng $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H(1;3)$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $I(2;0)$ , biết đỉnh $A(3;4)$ . Viết phương trình đường thẳng $BC$

( Đề thi thử trường tớ , hôm chưa kịp post , he )

 

[binhmaster10a4]

Góp hàng cùng Nhân nhé!
Bài 3: Trong mp(Oxy) cho tam giác ABC có [TEX]A(2;-4)[/TEX] và 2 đường phân giác trong của góc B,C lần lượt là d1:[TEX]x+y-2=0[/TEX], d2:[TEX]x-3y-6=0[/TEX]. Viết phương trình đường thẳng BC.

Vừa làm xong bài này, kidz.c hum qua hỏi tối buồn ngủ nên vừa nãy mới làm

 

[duynhan1]

Góp hàng cùng Nhân nhé!
Bài tập:Trong mp(Oxy) cho tam giác ABC có [TEX]A(2;-4)[/TEX] và 2 đường phân giác trong của góc B,C lần lượt là d1:[TEX]x+y-2=0[/TEX], d2:[TEX]x-3y-6=0[/TEX]. Viết phương trình đường thẳng BC.

Cách làm : lấy $ A_1, A_2$ lần lượt là đối xứng của $A$ qua phân giác $\hat{B}$ và $\hat{C} $ nên suy ra $A_1, A_2 \in BC $
Tìm $A_1, A_2$ thì quen rồi :">
Xét $d1 : x+y-2=0 $ có $\vec{n}=(1,1)$
Suy ra đường thẳng $d_1'$ qua $A$ và $\bot$ với $ d_1 $
Từ đó ta có:$ d_1' :\ x-y-6=0 $
Tọa độ $A_1'$ là trung điểm $AA_1$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\begin{cases} x+y-2=0 \\ x-y-6=0 \end{cases} \Rightarrow A_1' (4; -2) $
$ \Rightarrow A_1 {(6, 0)}$
Tương tự với $A_2$

 

[drthanhnam]

Bài 2 : Trong mặt phẳng $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H(1;3)$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $I(2;0)$ , biết đỉnh $A(3;4)$ . Viết phương trình đường thẳng $BC$

( Đề thi thử trường tớ , hôm chưa kịp post , he )

Bài này ta chỉ cần sử dụng tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam gíac mà ta đã học ở lớp 10.
Họi M là trung điểm BC, D là giao điểm thứ 2 của AI với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (hay D là điểm đối xứng của A qua I)
Ta dễ chứng minh được BHCD là hình bình hành \Rightarrow M là trung điểm của HD
Dễ dàng tìm được điểm D Có toạ độ: D (1;-4)
Vậy điểm M có toạ độ:
[TEX]M(1;\frac{-1}{2})[/TEX]
Mặt khác, BC có vec-tơ pháp tuyến chính là [TEX]\underset{AH}{\rightarrow}=(-2;-1)[/TEX]
Nên vec-tơ chỉ phương của BC là (-1;2)
Vậy đường thẳng BC có phương trình là:
[TEX]\frac{x-1}{-1}=\frac{y+\frac{1}{2}}{2}\Leftrightarrow 4x+2y-3=0[/TEX]
Thân!

 

[duynhan1]

Bài 4 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có: $B(-3;0)$, $C(3;0)$. Biết tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng $y=x$. Tìm tâm I và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết I có tung độ dương.

 

[drthanhnam]

Bài 4 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có: B(−3;0), C(3;0). Biết tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng y=x. Tìm tâm I và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết I có tung độ dương.

Bài này cũng là một bài khá hay và chỉ cần vận dụng tính chất về hình học để giải ^^

Do B, C cố định và lần lượt có toạ độ (-3;0) và (3;0) nên dễ dàng chứng minh được A nằm trên đường tròn tâm O bán kính R=3
I là tâm đường tròn nội tiếp tam gíac ABC => AI là phân giác góc BAC.
Giả sử AI cắt đường tròn ngoại tiếp tại D dễ dàng chứng minh được D có toạ độ (0;-3)
Hai góc BDC và DAC cùng chắn cung CD nên bằng nhau.
Mà góc DAC= góc DAB ( do AD là phân giác)
=> góc DAB= góc DBC ( =45 độ ^^)
Mặt khác: BI là phân giác góc ABC
Nên ta có:
[tex]\widehat{DBC} + \widehat{IBC}= \widehat{IBA }+ \widehat{DAB}\Leftrightarrow \widehat{DBI}=\widehat{BID}[/tex]
Suy ra tam giác BDI cân tại D
[tex]\Rightarrow DI=DB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}[/tex]
Giả sử I có toạ độ là I(a;b)
Do I thuộc đường thẳng x=y nên a=b Vậy I(a;a)
Ta có:
[tex]DI=3\sqrt{2}=\sqrt{(a+3)^2+a^2}\Leftrightarrow 2a^2+6a-9=0\Leftrightarrow a=\frac{-3\pm 3\sqrt{3}}{2}[/tex]
Thân!

 

[duynhan1]

Bài 1 của hoanghondo94 thiếu điều kiện để từ M kẻ được 2 tiếp tuyến
Bài 4 của anh drthanhnam, do điều kiện của I có tung độ dương ta suy ra điểm D có tung độ âm.

Bài 4 mình dựa vào lời giải đề luyện số 1 của học mãi để sửa đề lại, nếu mà không biết trước tam giác BID là tam giác cân thì xác suất giải ra bài này hầu như không có ^^.

 

[rua_it]

Bài 4 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có: $B(-3;0)$, $C(3;0)$. Biết tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng $y=x$. Tìm tâm I và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết I có tung độ dương.

Ta thấy đề bài có cho một tam giác vuông biết tọa độ của 2 điểm của cạnh huyền, nên ta liên tưởng đến đường tròn ngoại tiếp tam giác ^^
Cụ thể, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O và bán kính R=3. A(x,x), x>0.
(BC):y=0 nên nếu gọi tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt là I và r, thì r =x,
Áp dụng hệ thức Euler, ta có :
[tex] OI^2=R^2-2R.r \Leftrightarrow 2x^2=9-6x \Leftrightarrow x=\frac{-3+3\sqrt3}{2} [/tex]

 

[duynhan1]

Bài ni vui nè!!
Bài 5:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng: $$\begin{cases}(L_1):\ 4x-2y+5=0 \\ (L_2):\ 4x+6y-13=0 \end{cases}$$ Đường thẳng $\Delta$ cắt $(L_1)$, $(L_2)$ lần lượt tại $T_1$ và $T_2$. Biết rằng $(L_1)$ là phân giác góc tạo bởi $OT_1$ và $\Delta$, $(L_2)$ là phân giác của góc tạo bởi $OT_2$ và $\Delta$. Tìm tọa độ giao điểm của $\Delta$ và trục tung?

(Đề thi thử THPT Chuyên Quốc học Huế - 2012)

 

[hoanghondo94]

Bài ni vui nè!!
Bài 5:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng: $$\begin{cases}(L_1):\ 4x-2y+5=0 \\ (L_2):\ 4x+6y-13=0 \end{cases}$$ Đường thẳng $\Delta$ cắt $(L_1)$, $(L_2)$ lần lượt tại $T_1$ và $T_2$. Biết rằng $(L_1)$ là phân giác góc tạo bởi $OT_1$ và $\Delta$, $(L_2)$ là phân giác của góc tạo bởi $OT_2$ và $\Delta$. Tìm tọa độ giao điểm của $\Delta$ và trục tung?

(Đề thi thử THPT Chuyên Quốc học Huế - 2012)

- Gọi $E$ và $F$ là điểm đối xứng của $O$ qua $(L_1)$ và $ (L_2)$ , $I , \ J$ theo thứ tự là trung điểm của $OE ; \ OF$

- Ta dễ dàng chứng minh được $E, \ F$ thuộc $\Delta$

- Gọi $I(a;b) \Rightarrow E(2a;2b)$

- $I$ thuộc $(L_1)$ và $OI\perp (L_1)$ , suy ra $I(-1;\frac{1}{2})\Rightarrow E(-2;1)$

- Tương tự ta cũng tìm được $J(1;\frac{3}{2})\Rightarrow F(2;3)$

- Phương trình $\Delta$ đi qua $E$ và $F$ :
$\Delta: x-2y+4=0$

- Giao điểm của $\Delta$ với trục tung $M(0;2)$


P/S: Cách làm chắc đúng , kết quả chưa check lại , he




..

 

[duynhan1]

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và điểm $B(1,1)$. Phương trình đường thẳng $AC : 4x+3y-32=0$. Tia $BC$ lấy $M$ sao cho $BM.BC=75$. Tìm $C$ biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMC$ là $\dfrac{5 \sqrt{5}}{2}.$

 

[jet_nguyen]

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và điểm $B(1,1)$. Phương trình đường thẳng $AC : 4x+3y-32=0$. Tia $BC$ lấy $M$ sao cho $BM.BC=75$. Tìm $C$ biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMC$ là $\dfrac{5 \sqrt{5}}{2}.$

Giải:
​

- Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMC$.
Ta có: $P_{(B/(I))}=\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BC}=BI^2-R^2$ với $R=\dfrac{5 \sqrt{5}}{2}$

Vì $B$ nằm ngoài đường tròn $(I)$ nên ta có: $\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BC}=BM.BC=75$ \Leftrightarrow $BI^2-R^2=75$\Rightarrow $BI^2=\dfrac{425}{4}$

Viết được phương trình $AB: 3x-4y+1=0$ và tìm được $A(5;4)$

- Gọi $I(x;y)$ ta có: $\begin{cases}IA^2=\dfrac{125}{4}\\ \ \ \\IB^2=\dfrac{425}{4}\end{cases}$

Tính được: $I\left(\dfrac{13}{2}; 2\right)$ hoặc $I\left(\dfrac{7}{2}; 6\right)$

Viết phương trình đường trung trực $IN$ của $AC$. Tìm được $N=AC\cap IN$.
Dùng tính chất trung điểm suy ra: $C(8;0)$ hoặc $C(2;8)$

Nguồn: Onluyentoan.vn​

 

[duynhan1]

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và điểm $B(1,1)$. Phương trình đường thẳng $AC : 4x+3y-32=0$. Tia $BC$ lấy $M$ sao cho $BM.BC=75$. Tìm $C$ biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMC$ là $\dfrac{5 \sqrt{5}}{2}.$

Cách 2:
-Tìm được tọa độ điểm A
- Kẻ $MK \bot BC$ cắt $AB$ tại K.
Khi đó gọi $I$ là trung điểm của $CK$ ta dễ dàng suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMC$
Do $ \Delta BMK ~ \Delta BAC \Rightarrow \frac{BM}{BA} = \frac{BK}{BC}$. Từ đó tính được BK.
- Do A nằm giữa B và K nên ta sẽ có: $ AK = BK- BA$
- Từ đó ta tính được độ dài cạnh AC: $ AC = \sqrt{4R^2 - AK^2}$
Và suy ra tọa độ điểm C.

 

[braga]

Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $(E):\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ và đường thẳng $\Delta :x+y+9=0$. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc $\Delta$, tiếp xúc với $(E)$ và có bán kính nhỏ nhất.


..

 

[duynhan1]

Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $(E):\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ và đường thẳng $\Delta :x+y+9=0$. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc $\Delta$, tiếp xúc với $(E)$ và có bán kính nhỏ nhất.
..

Gọi d là đường thẳng song song với $\Delta$ và tiếp xúc với Elip, và khoảng cách từ d đến Elip gần nhất.
Phương trình đường thẳng d có dạng: $d:\ x+y+c= 0$
Đường thẳng d tiếp xúc với Elip khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: $$ \begin{cases}\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1 \\ x+y+c=0 \end{cases} $$
$\Leftrightarrow c= \pm 3$
Với c=3 thì khoảng cách d và $\Delta$ là nhỏ nhất, vậy $d:\ x+y+3=0$.
Tiếp điểm của d và Elip là: $M(-\frac53 ; - \frac43)$
Gọi (C) là đường tròn cần tìm có tâm I và bán kính R.
$I \in \Delta \Rightarrow I(a;-a-9)$
Dựa vào hình vẽ ta có: $R \ge d(d;\Delta) = \frac{|-3 +9|}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi, I là giao điểm của đường thẳng qua M vuông góc với $d$ và đường thẳng $\Delta$. Khi đó (C) tiếp xúc với (d) và (E) tại M.

:-s Khó nói quá =.=

 

[duynhan1]

Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $(E):\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ và đường thẳng $\Delta :x+y+9=0$. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc $\Delta$, tiếp xúc với $(E)$ và có bán kính nhỏ nhất...

Lời giải đại số cho bài này:
Gọi (C) là đường tròn cần tìm, có tâm $I$ và bán kính $R$.
$I \in \Delta \Rightarrow I(a;-a-9)$
Gọi M(m;n) là tiếp điểm của (C) và (E), suy ra: $\frac{m^2}{5} + \frac{n^2}{4} = 1$
Theo BDT Cauchy-Schwarz thì ta có: $(m+n)^2 \le ( \frac{m^2}{5} + \frac{n^2}{4})(5+4) = 9 \Rightarrow m+n \ge -3$
Mà ta có: $$R^2 = (m-a)^2+(n+a+9)^2 \ge \frac{(m-a+n+a+9)^2}{2}= \frac{(m+n+9)^2}{2} \ge 18$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $$\begin{cases} m-a = n+a+9 \\ \frac{m}{5} = \frac{n}{4} \\ \frac{m^2}{5} + \frac{n^2}{4} = 1 \\ m+n=-3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = -\frac53 \\ n= -\frac43 \\ a= -\frac{14}{3} \end{cases} $$
Khi đó ta có, $I(-\frac{14}{3}; - \frac{13}{3}),\ R = 3\sqrt{2}$, ta sẽ chứng minh (C) tiếp xúc (E):
- Lập phương trình hoành độ ta dễ dàng chứng minh điều này.

Kết luận: ...

Nguồn: BoxMath
​

 

[duynhan1]

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM:\ 7x-5y=0$, đường phân giác trong $BD:\ x-2y=30=0$, và đường cao $CK:\ x-y+16=0$. Tìm 3 đỉnh của $\Delta ABC$?

 

[jet_nguyen]

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM:\ 7x-5y=0$, đường phân giác trong $BD:\ x-2y=30=0$, và đường cao $CK:\ x-y+16=0$. Tìm 3 đỉnh của $\Delta ABC$?

Gọi A(5a,7a), B(2b+30,b) và C(c,c+16)
Có AB vuông CK nên thiết lập được phương trình:
$$4a-b-10=0(1)$$ M là trung điểm của AB thì $M(\dfrac{c+2b+30}{2}, \dfrac{c+b+16}{2})$
Do M thuộc AM nên ta thiệt lập được phương trình:
$$ 9b+2c+130=0(2)$$ Gọi N là điểm đối xứng của C qua BA
Dễ dàng tìm được: $ N (\dfrac{7c+124}{5},\dfrac{c-168}{5})$ và thấy N thuộc AB
Nên ta có AN vuông CK suy ra:
$$ 15b-8c+194=0(3)$$ Từ (1),(2) và (3) bấm máy rẹc rẹc thu được $a=-1,b=-14,c=-2$
Số đẹp chắc là đúng rồi

 

[dangsatthu08]

Gọi d là đường thẳng song song với $\Delta$ và tiếp xúc với Elip, và khoảng cách từ d đến Elip gần nhất.
Phương trình đường thẳng d có dạng: $d:\ x+y+c= 0$
Đường thẳng d tiếp xúc với Elip khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: $$ \begin{cases}\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1 \\ x+y+c=0 \end{cases} $$
$\Leftrightarrow c= \pm 3$
Với c=3 thì khoảng cách d và $\Delta$ là nhỏ nhất, vậy $d:\ x+y+3=0$.
Tiếp điểm của d và Elip là: $M(-\frac53 ; - \frac43)$
Gọi (C) là đường tròn cần tìm có tâm I và bán kính R.
$I \in \Delta \Rightarrow I(a;-a-9)$
Dựa vào hình vẽ ta có: $R \ge d(d;\Delta) = \frac{|-3 +9|}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi, I là giao điểm của đường thẳng qua M vuông góc với $d$ và đường thẳng $\Delta$. Khi đó (C) tiếp xúc với (d) và (E) tại M.

:-s Khó nói quá =.=

Bn ơi cho tớ hỏi sao giải hệ ra nghiệm duy nhất thì c = +-3?????

Thay (2) vào (1) rồi biện luận phương trình bậc 2 theo x có nghiệm duy nhất
Có gì add nick duynhana1 nhé.