Topic: Bất Đẳng Thức Lượng Giác LTDH 2009

[quocbao153]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng:
[tex]CotA+CotB+CotC\geq\sqrt{3}[/tex]

 

[thong1990nd]

Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng:
[tex]CotA+CotB+CotC\geq\sqrt{3}[/tex]

vì tam giác nhọn nên [TEX]cotA>0,cotB>0,cotC>0[/TEX]
có BDT
[TEX]cot^2A+cot^2B+cot^2C\geq cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](cotA+cotB+cotC)^2\geq 3(cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA)[/TEX]
CM [TEX]cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1[/TEX]
có [TEX]tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]cot(A+B)= \frac{1}{tan(A+B)}=\frac{1-tanA.tanB}{tanA+tanB}[/TEX]
-[TEX]cotC=\frac{cotA.cotB-1}{cotA+cotB}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1[/TEX]
\Rightarrow [TEX]cotA+cotB+cotC[/TEX] \geq [TEX]\sqrt[]{3}[/TEX] (đpcm)

 

[quang1234554321]

vì tam giác nhọn nên [TEX]cotA>0,cotB>0,cotC>0[/TEX]
có BDT
[TEX]cot^2A+cot^2B+cot^2C\geq cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](cotA+cotB+cotC)^2\geq 3(cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA)[/TEX]
CM [TEX]cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1[/TEX]
có [TEX]tan(A+B)=\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]cot(A+B)= \frac{1}{tan(A+B)}=\frac{1-tanA.tanB}{tanA+tanB}[/TEX]
-[TEX]cotC=\frac{cotA.cotB-1}{cotA+cotB}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1[/TEX]
\Rightarrow [TEX]cotA+cotB+cotC[/TEX] \geq [TEX]\sqrt[]{3}[/TEX] (đpcm)

Tốn công biến đổi quá

Cách khác

Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng:
[tex]CotA+CotB+CotC\geq\sqrt{3}[/tex]

Do tam giác [TEX]ABC[/TEX] nhọn nên ta xét hàm : [TEX]f(x) = cotx [/TEX] với [TEX]x \leq 90*[/TEX]

[TEX]f''(x)= -\frac{2cosx}{sin^3x} < 0[/TEX] với [TEX]x \leq 90*[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f(x) [/TEX] là hàm lồi

Áp dụng [TEX]Jensen [/TEX] với hàm lồi :

[TEX]f(A) + f(B) + f(C) \geq 3f( \frac{A+B+C}{3}) = 3.cot 60* =\sqrt{3}[/TEX] đpcm

[TEX]\Rightarrow done[/TEX]

 

[phuocthinht]

Theo mình nếu bạn làm cách này với đề thi đại học thì bạn sẽ không có điểm đâu
Vì đại học chỉ được sử dụng bất đẳng thức côsi và bunhiacopxki thôi

 

[quocbao153]

Cho [tex]\Delta ABC[/tex], chứng minh rằng:

[tex]{m_a} + {m_b} + {m_c} \le \frac{9}{2}R[/tex]

 

[thancuc_bg]

Cho [tex]\Delta ABC[/tex], chứng minh rằng:

[tex]{m_a} + {m_b} + {m_c} \le \frac{9}{2}R[/tex]

CM B ĐT:[TEX]sin^2A+sin^2B+sin^2C\leq\frac{9}{4}[/TEX]
sử dụng bất đẳng thức này để chứng minh bất đẳng thức trên,tớ làm hơi trâu bò nên dài lém.

 

[quocbao153]

Chứng minh rằng [tex]\Delta ABC[/tex] đều:
[tex]\Leftrightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} = \frac{{\sqrt {ab} }}{{4c}}[/tex]

 

[thancuc_bg]

Chứng minh rằng [tex]\Delta ABC[/tex] đều:
[tex]\Leftrightarrow \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} = \frac{{\sqrt {ab} }}{{4c}}[/tex]

ta có:[TEX]2\sin^2\frac{A}{2}=1-cosA=1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/TEX]
=>[TEX]\sin\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{a^2-(b-c)^2}{4bc}}\leq\frac{a}{2\sqrt{bc}[/TEX]
tương tự ta có:[TEX]\sin\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{b^2-(a-c)^2}{2ac}}\leq\frac{b}{2\sqrt{ac}}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\sin\frac{A}{2}.\sin\frac{B}{2}\leq\frac{a}{2\sqrt{ac}}.\frac{b}{2\sqrt{ac}}=\frac{\sqr{ab}}{4c}[/TEX]
dấu ''='' xảy ra khi a=b=c
=> tam giác là tam giác đều.

 

[quang1234554321]

CM B ĐT:[TEX]sin^2A+sin^2B+sin^2C\leq\frac{9}{4}[/TEX]
sử dụng bất đẳng thức này để chứng minh bất đẳng thức trên,tớ làm hơi trâu bò nên dài lém.

Cho [tex]\Delta ABC[/tex], chứng minh rằng:

[tex]{m_a} + {m_b} + {m_c} \le \frac{9}{2}R[/tex]

Đây là lời giải ngắn gọn của giaythuytinh176 bên maths.vn

[TEX]\begin{array}{l}m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} \\m_b^2 = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} \\m_c^2 = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} \\m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}({a^2} + {b^2} + {c^2}) = 3{R^2}({\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C) \\{m_a} + {m_b} + {m_c} \le \sqrt {3(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2)} = 3R\sqrt {{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C} \le \frac{{9R}}{2} \\\end{array}[/TEX]

 

[huyen1704]

Cho tam giác ABC C/m sin2(A+B) +sin2C=0 và cos2(A+B) +cos C =0

 

[huyen1704]

tìm m sao cho bpt sau đúng với mọi số thực (x+1)2-2Ix+1I-m >=0.
cho các số a,b,c,d, thay đổi thoả a2+b2=1 và 3c+4d=55. tìm giá trị nhỏ nhất của c2+d2-2(ac+bd)
giúp mình với (số 2 ở sau mỗi chữ cái là kí hiệu bình phương đó)

 

[seagirl_41119]

Mọi ng chăm quá, em đọc tuy ko hiểu nhưng em có mấy đề cho anh chị luyện tập nè:

Dùng biến đổi tương đương nè:
1, CMR : [TEX]\frac{1}{3+sinx} + \frac{1}{3-sinx} \leq\frac{2}{2+ cosx}[/TEX]
2,
[TEX]\left{\begin{Cho sin^2\alpha + sin^2\beta + sin^2\gamma }\\{\alpha ,\beta,\gamma \neq \frac{\pi}{2}+k\pi } [/tex]
CMR:
[TEX]\frac{1}{3}(tg\alpha.tg\beta + tg\beta.tg\gamma+tg\gamma.tg\alpha)^2 + 2tg^2 \alpha.tg^2\beta.tg^2\gamma\leq1 [/TEX]

3, CMR:
[TEX]a^2+b^2+c^2\geq 2(absin3x + accos2x - bcsinx)[/TEX]

Sử dụng bđt Cauchy-Bunhiacopxki
1,CM các bđt sau
a)
[TEX](sinx + acosx )(sinx + bcosx)\leq \frac{1}{2}[1+ab+ \sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}][/TEX]
b)
[TEX] (sinx + acosx)(sinx + bcosx) \leq 1+ (\frac{a+b}{2})^2[/TEX]
---->Đề thi Đại học năm 1983
Nếu nah hcị thâýa nó cần thiết thì e post tiếp nhưng phải pm cho em chứ e ít khi tạt vào đây lắm