Toán Tổng hợp

[Hiền Nhi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn:[tex]18a+4b\geq 2013[/tex]. Chứng minh răng phương trình sau luoon có nghiệm: [tex]18ax^{2}+4bx+671-9a=0[/tex]
2.Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a+b+c=3. Chứng minh rằng[tex]\frac{a+1}{1+b^{2}}+\frac{b+1}{1+c^{2}}+\frac{c+1}{1+a^{2}}\geq 3[/tex]

@Ann Lee @Nữ Thần Mặt Trăng

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

2.Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a+b+c=3. Chứng minh rằng[tex]\frac{a+1}{1+b^{2}}+\frac{b+1}{1+c^{2}}+\frac{c+1}{1+a^{2}}\geq 3[/tex]

$\dfrac{a+1}{1+b^2}=a+1-\dfrac{b^2(a+1)}{1+b^2}\ge a+1-\dfrac{b^2(a+1)}{2b}=a+1-\dfrac{ab+b}{2}$
Tương tự: $\dfrac{b+1}{1+c^2}\ge b+1-\dfrac{bc+c}{2};\dfrac{c+1}{1+a^2}\ge c+1-\dfrac{ca+a}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{a+1}{1+b^2}+\dfrac{b+1}{1+c^2}+\dfrac{c+1}{1+a^2}\ge 3+\dfrac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\ge 3$
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$.