Tông hợp một số đề thi HSG lớp 9.

[bboy114crew]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đê 1:
Bài 1: a) Tìm số nguyên tố p sao cho số 2p + 1 là lập phương của một số tự nhiên.
b) Có tồn tại hay không một đa thức [tex]f(x)[/tex] mà [tex]f(26)=1931[/tex] và [tex]f(3)=2008[/tex] với [tex]f(x)[/tex] có các hệ số đều nguyên.
Bài 2:a) Giải phương trình:[tex]\sqrt{x-5}-\frac{x-14}{3+\sqrt{x-5}}=3[/tex]
b) Giải hệ phương trình:
[tex]x+y+z=xyz[/tex]
[tex]t+y+z=tyz[/tex]
[tex]x+t+z=xtz[/tex]
[tex]x+y+t=xyt[/tex]
Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn: [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1[/tex]. Chứng minh:
[tex]\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ba}\geq[/tex][tex]\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}[/tex]
Bài 4: Cho đường tròn tâm O, bán kính bằng 1, nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Đường thẳng DE cắt tia phân giác của óc trong B và C theo thứ tự tại M và N.
a) TÍnh khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp trong tam giác ABC và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.
b) Chưúng minh 4 điểm M, N, B, C thuộc một đường trong.
c) Chứng minh [tex]\frac{MN}{BC}=\frac{DM}{AC}=\frac{EN}{AB}[/tex]
Bài 5: Cho góc nhọn xOy = :alpha , hai điểm A và B chuyển động trên các tia Ox và Oy sao cho OA - OB = m ( m là độ dài đoạn thẳng cho trước). Gọi G là tọng tâm tam giác AOB. Chứng minh rằng đường thẳng qua G vuông góc với AB luôn đi qua điểm cố định.
Đê 2:
Bài 1: (3 điểm)
Giải phương trình: [tex]x^{2}-3x+6-3 \sqrt{x^{2}-3x+4} =0[/tex]

Bài 2: (3,5 điểm)
Cho [tex]x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}[/tex] và [tex]y=\sqrt[3]{17+12\sqrt{2}}+\sqrt[3]{17+12\sqrt{2}}[/tex]
Tính [tex]P=x^{3}+y^{3}-3(x+y)+2010[/tex]

Bài 3: (3,5 điểm)
T“m các cặp số nguyên (x;y) sao cho [tex]x(x+1)=y^2+1[/tex]

Bài 4: (8,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Qua trung điểm H của OB kẻ đường thẳng d vuôn góc với AB. Gọi M là điểm bất k“ khác A, B trên đường tròn (O;R). AM và BM cắt đường thẳng d lần lượt tại K và I, BK cắt (O;R) tại điểm thứ hai N khác B
a) Tính tích BN.BK theo R
b)Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KIB luôn đi qua 1 điểm cố định khác B khi M di chuyển trên (O:R) (M khác giao điểm của d với (O))
c) Khi AK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác KIB. Tính tỉ số MA/MB

Bài 5 (2,0 điểm)
Cho 2 số thực a, b thỏa mãn điều kiện: [tex]a^2+b^2\leq1[/tex]
T“m giá trị nhỏ nhất biểu thức [tex](a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2[/tex]


p\s: còn nữa!

 

[bboy114crew]

Đê 2:

Bài 4: (8,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Qua trung điểm H của OB kẻ đường thẳng d vuôn góc với AB. Gọi M là điểm bất k“ khác A, B trên đường tròn (O;R). AM và BM cắt đường thẳng d lần lượt tại K và I, BK cắt (O;R) tại điểm thứ hai N khác B
a) Tính tích BN.BK theo R
b)Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác KIB luôn đi qua 1 điểm cố định khác B khi M di chuyển trên (O:R) (M khác giao điểm của d với (O))
c) Khi AK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác KIB. Tính tỉ số MA/MB


p\s: còn nữa!

chém bài hình này cái!

bài 4:
a.ta dễ chứng minh đượcA,I,N thẳng hàng=> AHNK nội tiếp[tex] \rightarrow BN.BK=BH.AB=2R.\frac{R}{2}=R^2[/tex]
b.[tex](B,I,K)\cap AB=C[/tex]
ta có [tex]\widehat{BCK}=\widehat{MIK}=\widehat{MAB}\rightarrow \Delta AKB[/tex] cân tại K mà [tex] KH \perp AB \rightarrow AH=HB=\frac{3}{2}R[/tex]
vậy .........di qua điểm đối xứung với A qua H.
c.nếu [tex]AK[/tex] là tiếp tuyến của [tex] (B,I,K) \rightarrow AK=\sqrt{AB.(AB+BC)}=R\sqrt{6}[/tex]
MKBH nội tiếp [tex]\rightarrow AM.AK=AH.AB \rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{OH}{AK}=\frac{\frac{3}{2}R}{R\sqrt{6}} =\frac{\sqrt{6}}{4}[/tex]

 

[bboy114crew]

Đê 2:

Bài 3: (3,5 điểm)
T“m các cặp số nguyên (x;y) sao cho [tex]x(x+1)=y^2+1[/tex]


p\s: còn nữa!

BÀI NÀY CŨNG DỄ:
Bài 3
[tex]x(x+1)=y^2+1[/tex]
[tex] \Leftrightarrow x^2+x=y^2+1[/tex]
[tex] \Leftrightarrow 4x^2+4x+1=4y^2+5[/tex]
[tex] \Leftrightarrow (2x+1)^2-(2y)^2 =5[/tex]
[tex] \Leftrightarrow (2x+1-2y)(2x+1+2y)=5[/tex]
[tex]5[/tex] là số nguyên tố nên rất dễ để làm
Nghiệm là [tex](1;1) (1;-1) (-2;-1) (-2;1)[/tex]

 

[aklpt12345]

đề 1 bài 2 nhân t,z,y,z lần lượt vào pt 1234.rồi 4 pt bằng xyzt .
bài 1 đề 2 đặt [TEX]x^2-3x+4=a[/TEX]

 

[kid1412dn]

làm được câu 5 đề 2
[TEX]a^2+b^2 \geq 2ab[/TEX]
[TEX]a^2+b^2 \leq 1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2ab \leq 1[/TEX]
[TEX]ab \leq \frac{1}{2}[/TEX]
[TEX](a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}+b^2+2+\frac{1}{b^2}=a^2+b^2+ \frac{1}{a^2}+ \frac{1}{b^2}+4[/TEX]
[TEX]a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+4 \geq 2ab+\frac{2}{ab}+4= \frac{2a^2b^2+2}{ab}+4[/TEX]
[TEX]ab \leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{2a^2b^2+2}{ab} \geq 2(2a^2b^2+2)=4a^2b^2+4[/TEX]
[TEX]4a^2b^2 \geq 0 \Leftrightarrow 4a^2b^2+4 \geq 4[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b}^2)\geq4[/TEX]
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức [TEX](a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2[/TEX] là 4

 

[bboy114crew]

Bài 1 : (2 điểm)
Xét biểu thức :[TEX]y=\frac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1} - \frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + 1[/TEX]

1) Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
2) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y - |y| = 0
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ?
Bài 2 : (2 điểm)
Giải hệ phương trình :
[TEX]x\sqrt{y} + y\sqrt{x} =12[/TEX]
[TEX]x\sqrt{x} + y\sqrt{y} =28[/TEX]

Bài 3 : (2 điểm)
Cho hình vuông có cạnh bằng 1, tìm số lớn nhất các điểm có thể đặt vào hình vuông (kể cả các cạnh) sao cho không có bất cứ 2 điểm nào trong số các điểm đó có khoảng cách bé hơn 1/2 đơn vị.
Bài 4 : (2 điểm)
Cho hai đường tròn đồng tâm và 1 điểm M cố định trên đường tròn nhỏ. Qua M kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau, một đường cắt đường tròn nhỏ ở A khác M, đường kia cắt đường tròn lớn ở B và C. Khi cho hai đường thẳng này quay quanh M và vẫn vuông góc với nhau, chứng minh rằng :
1) Tổng [tex]MA^2 + MB^2 + MC^2[/tex] không đổi.
2) Trọng tâm tam giác ABC là điểm cố định.
Bài 5 : (2 điểm)
1) Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phương.
2) Cho tam giác ABC và một điểm E nằm trên cạnh AC. Hãy dựng một đường thẳng qua E và chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.

 

[bigbang195]

Đê 1:
Bài 1: a) Tìm số nguyên tố p sao cho số 2p + 1 là lập phương của một số tự nhiên.
b) Có tồn tại hay không một đa thức [tex]f(x)[/tex] mà [tex]f(26)=1931[/tex] và [tex]f(3)=2008[/tex] với [tex]f(x)[/tex] có các hệ số đều nguyên.

a/

dễ thấy a>2 nên a-1>1 và a-1 < a^2+a+1 nên a-1=2 tức là a=3

p=13

b/ như vậy ta phải có

hình như

nên ko có f(x) thỏa mãn

 

[01263812493]

Bài 2 : (2 điểm)
Giải hệ phương trình :
[TEX]x\sqrt{y} + y\sqrt{x} =12[/TEX]
[TEX]x\sqrt{x} + y\sqrt{y} =28[/TEX]

 

[bboy114crew]

tiếp tục!

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Hà Tây
Năm học 2005-2006​

Bài 1:
Cho biểu thức :[tex]\large A= \frac{2 \sqrt{x}-9 }{x-5 \sqrt{x}+6 }- \frac{ \sqrt{x}+3 }{ \sqrt{x}-2 }- \frac{2 \sqrt{x} -1}{3- \sqrt{x} }[/tex]
a) Tìm điều kiện để A xác định và rút gọn A .
b) So sánh giá trị của A với [tex]\large \frac{1}{3}[/tex] biểu thức [tex]\large x=m-2 \sqrt{m-1}(1[m[2)[/tex]

Bài 2:
Tìm các số nguyên [tex]\large x,y[/tex] thỏa mãn: [tex]\large 4x^2-(8y+11)x+8y^2+14=0[/tex]

Bài 3:
a) Giải phương trình : [tex]\large 6x+ \sqrt{x-2}=x^2- \sqrt{4-x}+11[/tex]

b) Giải hệ phương trình [tex]\large \left\{\begin{array}{l}x^2+2x^2y^2=5y^2-y^4\\x-xy+x^2y=y-y^2\end{array}\right.[/tex]

Bài 4:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G.
a) Gọi H là trực tâm tam giác ABC .Tính: [tex]\large \frac{GO^3+GM^3+GN^3-3.GO.GM.GN}{GB^3+GC^3+GH^3-3.GB.GC.GH}[/tex]

b) Chứng minh nếu tứ giác ANGM ngoại tiếp thì AB=AC

Bài 5:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AI, đường trung tuyến BM và đường phân giác CK cùng gặp nhau tại 1 điểm.
a) So sánh đọ dài các đoạn thẳng AC, BI
b) Số đo của góc ACB bằng [tex]\large \alpha [/tex]. tính [tex]\large sin \alpha[/tex]

--------------------------------------

 

[bboy114crew]

Mấy bài thi HSG tỉnh Quảng Trị năm các năm 1997 - 2001 lớp 9
Bài 1:(Năm 1999-2000) Giải phương trình
[tex] X^{4} - 4 sqrt{3}X -5 =0 [/tex]
Bài 2:(năm 1997-1998)
Cho 2 số x, y thõa mãn đẳng thức:
[tex] 2x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 4 [/tex]
Xác định x, y để tích x.y đạt GTNN

Bài 3:(Năm 2000-2001)
Giải hệ phương trình:
[tex] x - \frac{1}{y}=1[/tex]
[tex] y - \frac{1}{z} =1 [/tex]
[tex]z - \frac{1}{x} =1[/tex]
Bài 4: (năm 1997-1998)Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O,R)
Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc (O;R) ta có
[tex] MA^{4} + MB^{4} + MC^{4} + MD^{4} = 24R^{4}[/tex]

 

[nganltt_lc]

Mấy bài thi HSG tỉnh Quảng Trị năm các năm 1997 - 2001 lớp 9
Bài 3:(Năm 2000-2001)
Giải hệ phương trình:
[tex]\left{\begin{x - \frac{1}{y}=1 \ \ \ (1)}\\{y - \frac{1}{z} =1 \ \ \ (2)}\\{z - \frac{1}{x} =1 \ \ \ (3)} [/tex]

[TEX]DK \ : \ x \ ; \ y \ ; \ z \ \neq \ 0 [/TEX]

Từ (1) ta có :

[TEX]x \ = \ 1 \ + \ \frac{1}{y} \ = \ \frac{y+1}{y} \ \ \ (1')[/TEX]

Từ (2) ta có :

[TEX]\frac{1}{z} \ = \ y \ - \ 1 \ \Leftrightarrow \ z \ = \ \frac{1}{y -1} \ \ \ (2')[/TEX]

Thế (1') và (2') vào (3) ta được :

[TEX]\frac{1}{y-1} \ - \ \frac{y}{y+1} \ = \ 1 \ \Leftrightarrow \ y \ + \ 1 \ - \ y^2 \ + \ y \ = \ (y \ - \ 1)(y \ + \ 1) \ \ \ \ \ \ \ ( DK \ : \ y \ \neq \ \pm \ 1)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ - \ y^2 \ + \ 2y \ + \ 1 \ = \ (y \ - \ 1)(y \ + \ 1)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ - \ y^2 \ + 2y \ + \ 1 \ = \ y^2 \ - \ 1 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ 2y^2 \ - \ 2y \ - \ 2 \ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ y^2 \ - \ y \ - \ 1 \ = \ 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ y^2 \ - \ 2.y.\ \frac{1}{2} \ + \ \frac{1}{4} \ - \ \frac{5}{4} \ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \left(y \ - \ \frac{1}{2} \right)^2 \ - \ \frac{5}{4} \ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \left(y \ - \ \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)\left(y \ - \ \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right) \ = \ 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \left[\begin{y \ = \ \frac{\sqrt{5}+1}{2}}\\{y \ = \ \frac{1-\sqrt{5}}{2} } [/TEX]

Từ đây thay vào :

+ Với : [TEX]y \ = \ \frac{\sqrt{5}+1}{2}[/TEX]

Thì : [TEX]x \ = \ \frac{\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}+1} [/TEX]

[TEX]z \ = \ \frac{2}{\sqrt{5}-1}[/TEX]

+ Với : [TEX]y \ = \ \frac{1-\sqrt{5}}{2}[/TEX]

Thì : [TEX]x \ = \ \frac{3-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}} [/TEX]

[TEX]z \ = \ - \ \frac{2}{\sqrt{5}+1}[/TEX]

 

[bboy114crew]

Mấy bài thi HSG tỉnh Quảng Trị năm các năm 1997 - 2001 lớp 9

Bài 2:(năm 1997-1998)
Cho 2 số x, y thõa mãn đẳng thức:
[tex] 2x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 4 [/tex]
Xác định x, y để tích x.y đạt GTNN


Bài 4: (năm 1997-1998)Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O,R)
Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc (O;R) ta có
[tex] MA^{4} + MB^{4} + MC^{4} + MD^{4} = 24R^{4}[/tex]

mới làm được hai bài!
[tex]\begin{array}{l} 2x^2 + \frac{1}{{x^2 }} + \frac{{y^2 }}{4} = 4 \ge x^2 + \frac{{y^2 }}{4} + 2 \ge 2 + \left| {xy} \right| \\ \Rightarrow 2 \ge \left| {xy} \right| \Leftrightarrow 2 \ge xy \ge - 2 \\ \end{array}[/tex]
vậy Min(xy)=-2 khi x=1;y=-2 và hoán vị
Gs [tex]M \in [/tex]cung BC nhỏ.Hạ [tex]MH \perp AC,MK \perp BD[/tex]
[tex] MA^{4}+ MC^{4}= (MA+MC)^{2}-2 MA^{2} MC^{2}= AC^{2}-2 AC^{2} MH^{2}=16 R^{4}-8 R^{2} MH^{2}[/tex]
[tex] MB^{4}+ MD^{4}=16 R^{4}-8 R^{2} MK^{2} \Rightarrow [/tex] dpcm
ko ngờ đề khó phết!

 

[tuyn]

Bài 2:
Tìm các số nguyên [tex]\large x,y[/tex] thỏa mãn: [tex]\large 4x^2-(8y+11)x+8y^2+14=0[/tex]

Bài 3:
a) Giải phương trình : [tex]\large 6x+ \sqrt{x-2}=x^2- \sqrt{4-x}+11[/tex]
Bài 2: coi là PT bậc 2 ẩn x.tính Đenta ra
Bai3T \Leftrightarrow [TEX]\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11(1)[/TEX]
Ta có: [TEX](\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} \leq (1^2+1^2)(x-2+4-x)=4[/TEX]
\Rightarrow VT(1)\leq2.Dấu ''='' xảy ra khi x=3
[TEX]x^2-6x+11=(x-3)^2+2 \geq 2[/TEX] \Rightarrow VP(1)\geq2.Dấu ''='' khi x=3
Vậy PT có nghiệm x=3