Toán 11 Tổng hợp kiến thức toán 11

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

:rongcon1 Hi các bạn :D
Để giúp cho các bạn lớp 11, mình lập ra topic này nhằm tổng hợp kiến thức lớp 11 một cách chi tiết và đầy đủ nhất
Tổng hợp kiến thức toán 11 gồm 7 phần, tương ứng với 7 chương trong SGK
Tạm thời mình sẽ tổng hợp theo kiến thức SGK trước, phần kiến thức nâng cao hơn, sẽ được bổ sung sau để các bạn có tư liệu nâng cao khả năng cũng như ôn thi hsg.

Cùng bắt đầu thôi nào :Tonton7

Chương I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. Các hàm số lượng giác
I) Các hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$
1) Định nghĩa :

+) Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo rađian bằng $x$ được gọi là hàm số sin, kí hiệu $y = \sin x$
+) Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với cos của góc lượng giác có số đo rađian bằng $x$ được gọi là hàm số sin, kí hiệu $y = \cos x$
2) Tập xác định: $\mathbb{R}$
Nhận xét : Hàm số $y = \sin x$ là 1 hàm số lẻ vì $\sin (-x) = -\sin x$ với mọi $x \in \mathbb{R}$
Hàm số $y = \cos x$ là 1 hàm số chẵn vì $\cos (-x) = \cos x$ với mọi $x \in \mathbb{R}$
3) Tính chất tuần hoàn của các hàm số $y = \sin x$ và $y= \cos x$
Hàm số $y = \sin x$ và $y= \cos x$ là những hàm tuần hoàn với chu kì $2\pi$
4) Sự biến thiên của hàm số $y = \sin x$
a) Khi $x$ thay đổi, hàm số $y = \sin x$ nhận mọi giá trị thuộc đoạn $[-1,1]$. Vậy ta nói, tập giá trị của hàm số $y = sin x$ là đoạn $[-1;1]$
b) Hàm số y = \sin x đồng biến trên khoảng $(- \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2})$. Từ đó, do tính chất tuần hoàn với chu kì $2\pi$, hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên mỗi khoảng $(- \dfrac{\pi}{2} + k2\pi; \dfrac{\pi}{2} + k2\pi)$ $k \in \mathbb{Z}$
c) Hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ, nên nhận O làm tâm đối xứng của đồ thị.
5) Sự biến thiên của hàm số $y = \cos x$
a) Khi $x$ thay đổi, hàm số $y = \cos x$ nhận mọi giá trị thuộc đoạn $[-1,1]$. Vậy ta nói, tập giá trị của hàm số $y = \sin x$ là đoạn $[-1;1]$
b) Hàm số $y = \cos x$ đồng biến trên khoảng $(-\pi;0)$. Từ đó do tính chất tuần hoàn với chu kì $2\pi$, hàm số $y =\cos x$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-\pi + k2\pi;k2\pi), k \in \mathbb{Z}$
c) Do hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn nên đồ thị của hàm số $y = \cos x$ nhận trục tung làm trục đối xứng
 
Last edited:

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Tiếp nào :D
II)
Các hàm số $y = \tan x$ và $y = \cot x$
1) Định nghĩa :

Với mỗi số thực $x$ mà $\cos x \neq 0 ( x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in Z)$, ta xác định được số thực $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. Đặt $D1 = \mathbb{R} \ x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi | k \in \mathbb{Z})$
+) Quy tắc đặt tương ứng mỗi số $x \in D1$ với số thực $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ được gọi là hàm số tang, kí hiệu $y = \tan x$
Với mỗi số thực $x$ mà $\sin x \neq 0 ( x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z})$, ta xác định được số thực $\tan x = \dfrac{\cos x}{\sin x}.$ Đặt $D2 = \mathbb{R} \ x \neq k\pi | k \in \mathbb{Z})$
+) Quy tắc đặt tương ứng mỗi số $x \in D2$ với số thực $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ được gọi là hàm số cotang, kí hiệu $y = \cot x$
Nhận xét: 1) Hàm số $y = \tan x$ là một hàm số lẻ vì nếu $x \in D1$ thì $-x \in D1$ và $\tan (-x) = - \tan x$
2) Hàm số $y = \cot x$ là một hàm số lẻ vì nếu $x \in D2$ thì $-x \in D2$ và $\cot (-x) = - \cot x$
2) Tính chất tuần hoàn
Các hàm số $y = \tan x$ và $y = \cot x$ là những hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi$
3) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số $y = \tan x$
+) Khi $x$ thay đổi, hàm số $y =\tan x$ nhận mọi giá trị thực. Ta nói tập giá trị của hàm số $y = \tan x$ là $\mathbb{R}$
+) Hàm số $y= \tan x$ là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
+) Hàm số $y=\tan x$ không xác định tại $x= \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z})$. Với mỗi $k \in \mathbb{Z}$, đường thẳng vuông góc với trục hoành, đi qua điểm $(\dfrac{\pi}{2} + k\pi;0)$ gọi là một đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y= \tan x$
4) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số $y = \cot x$
+) Khi $x$ thay đổi, hàm số $y =\cot x$ nhận mọi giá trị thực. Ta nói tập giá trị của hàm số $y = \cot x$ là $\mathbb{R}$
+) Hàm số $y= \tan x$ không xác định tại $x= k\pi, k \in \mathbb{Z})$. Với mỗi $k \in \mathbb{Z}$, đường thẳng vuông góc với trục hoành, đi qua điểm $(k\pi;0)$ gọi là một đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y= \tan x$
 
Last edited:

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
B. Phương trình lượng giác cơ bản
1) Phương trình [imath]\sin x = m[/imath] (1)

  • [imath]|m| > 1[/imath]: phương trình (1) vô nghiệm.
  • [imath]|m| \leq 1[/imath]: gọi [imath]\alpha[/imath] là một cung thỏa mãn [imath]\sin \alpha = m[/imath]. Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là: [imath]\left[\begin{matrix} x= \alpha + k2\pi\\ x = \pi - \alpha + k2\pi\end{matrix}\right.( k \in \mathbb{Z})[/imath]
Nếu [imath]\alpha[/imath] thỏa mãn điều kiện [imath]\dfrac{-\pi}{2} \leq \alpha \leq \dfrac{\pi}{2}[/imath] và [imath]\sin \alpha = m[/imath] thì ta viết [imath]\alpha = \arcsin m[/imath]
Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:
[imath]\left[\begin{matrix} x= \arcsin m + k2\pi\\ x = \pi - \arcsin m + k2\pi\end{matrix}\right. ( k \in \mathbb{Z})[/imath]
.
Các trường hợp đặc biệt:
  • [imath]\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
  • [imath]\sin x = -1 \Leftrightarrow x = \dfrac{-\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
  • [imath]\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi,k \in \mathbb{Z}[/imath]
2) Phương trình [imath]\cos x = m[/imath] (2)
  • [imath]|m| > 1[/imath]: phương trình (2) vô nghiệm.
  • [imath]|m| \leq 1[/imath]: gọi [imath]\alpha[/imath] là một cung thỏa mãn [imath]\cos \alpha = m[/imath]. Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là: [imath]\left[\begin{matrix} x= \alpha + k2\pi\\ x =- \alpha + k2\pi\end{matrix}\right.( k \in \mathbb{Z})[/imath]

Nếu [imath]\alpha[/imath] thỏa mãn điều kiện [imath]0 \leq \alpha \leq \pi[/imath] và [imath]\cos\alpha = m[/imath] thì ta viết [imath]\alpha = \arccos m[/imath]
Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là: [imath]\left[\begin{matrix} x= \arccos m + k2\pi\\ x = - \arccos m + k2\pi\end{matrix}\right. ( k \in \mathbb{Z})[/imath]

Các trường hợp đặc biệt:
  • [imath]\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
  • [imath]\cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
  • [imath]\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
3) Phương trình [imath]\tan x = m[/imath] (3)
Điều kiện: [imath]x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
Nếu [imath]\alpha[/imath] thỏa mãn điều kiện [imath]\dfrac{-\pi}{2} \leq \alpha \leq \dfrac{\pi}{2}[/imath] và [imath]\tan\alpha = m[/imath] thì ta viết [imath]\alpha = \arctan m.[/imath]
Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là : [imath]x = \arctan m + k\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
4) Phương trình [imath]\cot x = m[/imath] (4)
Điều kiện: [imath]x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
Nếu [imath]\alpha[/imath] thỏa mãn điều kiện [imath]\dfrac{-\pi}{2} \leq \alpha \leq \dfrac{pi}{2}[/imath] và [imath]\cot \alpha = m[/imath] thì ta viết [imath]x = \arccot m[/imath]
Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là: [imath]x = \arccot m + k\pi, k \in \mathbb{Z}[/imath]
5) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Là phương trình có dạng : [imath]a.f^2(x) + b.f(x) + c = 0[/imath] với [imath]f(x) = \sin u(x)[/imath] hoặc [imath]f(x) = \cos u(x), \tan u(x), \cot u(x).[/imath]
Cách giải:
Đặt [imath]t = f(x)[/imath] ta có phương trình : [imath]at^2 + bt +c = 0[/imath]
Giải phương trình này ta tìm được [imath]t[/imath], từ đó tìm được [imath]x[/imath]
Khi đặt [imath]t = \sin u(x)[/imath] hoặc [imath]t = \cos u(x)[/imath], ta có điều kiện: [imath]-1 \leq t \leq 1[/imath]
6) Phương trình bậc nhất đối với [imath]\sin x[/imath] và [imath]\cos x.[/imath]
Xét phương trình [imath]a\sin x + b\cos x = c (1)[/imath] với [imath]a, b[/imath] là các số thực khác 0.
Cách giải:
  • Chia cả 2 vế của phương trình cho [imath]\sqrt{a^2 + b^2}[/imath] ta được:
[imath]\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}. sinx + \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} . cosx = \dfrac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}[/imath]
  • Khi đó phương trình (1) được đưa về dạng: [imath]\sin (x + \alpha) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} (2)[/imath] Ở đó [imath]\alpha[/imath] là cung thỏa mãn : [imath]\cos \alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \sin \alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}[/imath]
  • Giải phương trình (2) tương tự mục 1.
Lưu ý: Phương trình chỉ có nghiệm khi [tex]a^2+b^2\geq c^2[/tex]
7) Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với [imath]\sin x[/imath] và [imath]\cos x[/imath] : [imath]a.\sin^2x + b\sin x.\cos x + c.\cos^2x = 0[/imath]
( trong đó [imath]a,b,c[/imath] là những số đã cho, với [imath]a \neq 0[/imath] hoặc [imath]b \neq 0[/imath] hoặc [imath]c \neq 0[/imath])
Cách giải:
TH1: Xét [imath]\cos x = 0[/imath] xem có là nghiệm của phương trình không?
TH2: Xét [imath]\cos x \neq 0[/imath]. Chia hai vế phương trình cho [imath]\cos^2x[/imath] ta được phương trình bậc 2 ẩn là [imath]\tan x.[/imath]
Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho.
Hoàn toàn tương tự ta có thể làm như trên đối với [imath]\sin x.[/imath]
8) Phương trình đối xứng bậc nhất của [imath]\sin x[/imath] và [imath]\cos x[/imath]: là phương trình có dạng
[imath]a(\sin x + \cos x) + b\cdot \sin x \cdot \cos x + c = 0 (3)[/imath]
Cách giải:
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:
  • B1: Đặt [imath]t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}. \sin (x + \frac{\pi}{4}) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{t^2 - 1}{2} = \sin x \cdot \cos x \\ t \epsilon [ -\sqrt{2}; \sqrt{2}] \end{matrix}\right.[/imath]
  • B2: Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t.
  • B3: Giải nghiệm của pt t = ... theo cách giải phương trình lượng giác cơ bản.
Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng:
[imath]a(\sin x - \cos x) + b\sin x \cos x + c = 0 (4)[/imath]
Để giải phương trình này ta cũng đặt [imath]t = \sin x - \cos x = \sqrt{2}. sin(x - \frac{\pi}{4}) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{-t^2 + 1}{2} = \sin x \cdot \cos x \\ t \in [ -\sqrt{2}; \sqrt{2}] \end{matrix}\right.[/imath]
C. Phương pháp loại nghiệm trong phương trình lượng giác

Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện xác định lên đường tròn lượng giác. Ta loại đi những điểm biểu diễn của nghiệm trùng với điểm biểu diễn của điều kiện.
Lưu ý:
  • Điểm biểu diễn cung [imath]\alpha[/imath] và [imath]\alpha+k2\pi,k \epsilon Z[/imath] là trùng nhau
  • Để biểu diễn cung [imath]\alpha + k2\pi[/imath] lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị (thường chọn k = 0, 1, 2,…,n – 1) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn
Phương pháp 2: Thử trực tiếp
Với điều kiện cũng như bài toán ít nghiệm ta có thể giải phương trình tìm nghiệm rồi thay nghiệm vào điều kiện để kiểm tra.
D. Áp dụng điều kiện có nghiệm để tìm min, max hàm số
Dạng 1: [imath]y = a\sin x + b\cos x[/imath] . ĐK có nghiệm của phương trình : [imath]a^2 + b^2 \geq y^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow - \sqrt{a^2 + b^2} \leq y \leq \sqrt{a^2 + b^2}[/imath]
Dạng 2: Cho [imath]x^2 + y^2 = a[/imath]. Tìm min, max [imath]P = f(x;y)[/imath] (Phần sau)
E. Tìm điều kiện tham số m để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước (Phần sau)
F. Giải phương trình lượng giác nâng cao (Phần sau)
PP1: Đưa về phương trình tích
PP2: Biến đổi tổng thành tích và ngược lại
PP3: Sử dụng một số đẳng thức quen thuộc
PP4: Sử dụng đánh giá
Bài tập chương I
1) Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :
[imath]a)[/imath] [imath]y = \sqrt{3- \sin x}[/imath]
[imath]b)[/imath] [imath]y = \dfrac{1-\cos x}{\sin x}[/imath]
[imath]c)[/imath] [imath]y = \sqrt{\dfrac{1 – \sin x}{1+\cos x}}[/imath]
[imath]d)[/imath] [imath]y = \tan (2x + \dfrac{\pi}{3})[/imath]
[imath]e)[/imath] [imath]y = \dfrac{1}{\cos (x - \dfrac{\pi}{3})}[/imath]
[imath]f)[/imath] [imath]y = \dfrac{1 – \cos x}{2\sin x + \sqrt{2}}[/imath]
[imath]g)[/imath] [imath]y = \dfrac{\tan x}{1+\tan x}[/imath]
[imath]h)[/imath] [imath]y = \dfrac{1}{\sqrt{3} \cot (2x) +1)}[/imath]
Bài 2 : Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau:
[imath]a)[/imath] [imath]y= -2\sin x[/imath]
[imath]b)[/imath] [imath]y = 3\sin x – 2[/imath]
[imath]c)[/imath] [imath]y = \sin x – \cos x[/imath]
[imath]d)[/imath] [imath]y= \sin x\cos^2 x + \tan x[/imath]
Bài 3: Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
[imath]a)[/imath] [imath]y = \sin x + 2\cos x[/imath]
[imath]b)[/imath] [imath]y = 2\cos (x + \dfrac{\pi}{3}) +3[/imath]
[imath]c)[/imath] [imath]y = \sqrt{1- \sin(x^2)} – 1[/imath]
[imath]d)[/imath] [imath]y = 4 \cdot \sin (\sqrt{x})[/imath]
[imath]e)[/imath] [imath]y = \dfrac{\sin x + 2\cos x +1}{\sin x + \cos x +2}[/imath]
[imath]f)[/imath] [imath]y = \sin^2x + \sin x\cos x + 3\cos^2x[/imath]
Bài 4 : Giải các phương trình lượng giác sau:
[imath]a)[/imath] [imath]\sin 4x = \sin \dfrac{\pi}{5}[/imath]
[imath]b)[/imath] [imath]\sin (\dfrac{x+\pi}{5}) = \dfrac{-1}{2}[/imath]
[imath]c)[/imath] [imath]\cos (\dfrac{x}{2}) = \cos (\sqrt{2})[/imath]
[imath]d)[/imath] [imath]\cos ( x + \dfrac{\pi}{18}) = \dfrac{2}{5}[/imath]
[imath]e)[/imath] [imath]\tan 3x = \tan \dfrac{3\pi}{5}[/imath]
[imath]f)[/imath] [imath]\tan (x – 15^o) = 5[/imath]
[imath]g)[/imath] [imath]\tan (2x – 1) = \sqrt{3}[/imath]
[imath]h)[/imath] [imath]\cot 2x = \cot (\dfrac{-1}{3})[/imath]
[imath]i)[/imath] [imath]3\cos x +4\sin x = -5[/imath]
[imath]j)[/imath] [imath]2\sin 2x -2\cos 2x = \sqrt{2}[/imath]
[imath]k)[/imath] [imath]5\sin 2x – 6\cos^2x =13[/imath]
[imath]l)[/imath] [imath]2\cos^2x – 3\cos x + 1 =0[/imath]
[imath]m)[/imath] [imath]\cos^2x + \sin x + 1 = 0[/imath]
[imath]n)[/imath] [imath]\sqrt{3} \cdot \tan^2x – (1+ \sqrt{3}) \cdot \tan x +1 = 0[/imath]
[imath]o)[/imath] [imath]2\sin^2x + 3.\sqrt{3} \cdot \sin x \cdot \cos x – \cos^2x = 4[/imath]
[imath]p)[/imath] [imath]\sin^2x + \sin 2x – 2.\cos^2x = \dfrac{1}{2}[/imath]
[imath]q)[/imath] [imath]3(\sin x + \cos x) + 2\sin x \cdot \cos x+3 = 0[/imath]
[imath]r)[/imath] [imath]\cos x – \sin x +6\cos x \cdot \sin x = 1[/imath]
[imath]s)[/imath] [imath]1 + \sin^3x + \cos^3x – 3\sin x\cos x =0[/imath]
 
Last edited:

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
1) Công thức cơ bản
$\sin^2x+\cos^2x=1$
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$
$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$
$\tan x\cot x=1 (x \neq k\frac{\pi}{2}, k \in Z)$
$1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}(x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi , k \in \mathbb{Z})$
$1+cot^2x=\frac{1}{sin^2x}(x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z})$
4, Công thức hạ bậc
$\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}$
$\cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}$
$\tan^2x=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$
$\sin^3x=\frac{-\sin 3x+3\sin x}{4}$
$\cos^3x=\frac{\cos 3x+3\cos x}{4}$
2. Công thức cộng
$\sin (a \pm b)=\sin a\cos b \pm \sin b\cos a$
$\cos (a \pm b)=\cos a\cos b \mp \sin a\sin b$
$\tan (a \pm b)=\frac{\tan a \pm \tan b}{1\mp \tan a \tan b} (a,b,a \pm b \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in Z)$
$\cot (a\pm b)=\frac{\cot a\cot b \mp 1}{\cot a \pm \cot b} (a,b,a \pmb \neq k\pi, k \in Z)$
5. Công thức biến đổi
a, Tích thành tổng
$\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)]$
$\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$
$\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)]$
b, Tổng thành tích
$\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cdot \cos \frac{a-b}{2}$
$\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$
$\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$
$\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$
3. Công thức nhân
a, Công thức nhân 2

$\sin 2x=2\sin x\cos x$
$\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2sin^2x$
$\tan 2x=\frac{2 \tan x}{1-\tan^2x} (x,2x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z})$
b, Công thức nhân 3
$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x=4\sin x\sin(\frac{\pi}{3}-x)sin(\frac{\pi}{3}+x)$
$\cos 3x=4\cos^3x-3cosx=4\cos x\cos (\frac{\pi}{3}-x)cos(\frac{\pi}{3}+x)$
Công thức bổ sung
$\sin a+\cos a=\sqrt{2}\sin (a+\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}\cos (a-\frac{\pi}{4})$
$\sin a-\cos a=\sqrt{2}\sin (a-\frac{\pi}{4})=-\sqrt{2}\cos (a+\frac{\pi}{4})$
$\cos a-\sin a=\sqrt{2}\sin (\frac{\pi}{4}-a)=\sqrt{2}\cos (\frac{\pi}{4}+a)$
Công thức bổ sung
$\sin a+\cos a=\sqrt{2}\sin (a+\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}\cos (a-\frac{\pi}{4})$
$\sin a-\cos a=\sqrt{2}\sin (a-\frac{\pi}{4})=-\sqrt{2}\cos (a+\frac{\pi}{4})$
$\cos a-\sin a=\sqrt{2}\sin (\frac{\pi}{4}-a)=\sqrt{2}\cos (\frac{\pi}{4}+a)$
[TBODY] [/TBODY]
 
Last edited:

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Chương 2: Tổ hợp – Xác suất
I) Quy tắc cộng
1) Định nghĩa

Giải sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc được thực hiện theo m+n cách
2) Công thức quy tắc cộng
Nếu các tập [tex]A_{1},A_{2},...,A_{n}[/tex] đôi một rời nhau. Khi đó:
[tex]\left | A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n} \right |=\left | A_{1} \right |+\left | A_{2} \right |+...+\left | A_{n} \right |[/tex] ( trong đó: [tex]\left | X \right |[/tex] là chỉ số phần tử của tập $X$ )
II) Quy tắc nhân
1) Định nghĩa

Giả sử một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể thực hiện theo n cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo m.n cách
2) Công thức quy tắc nhân
Nếu các tập [tex]A_{1},A_{2},..,A_{n}[/tex] đôi một rời nhau. Khi đó: [tex]\left | A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n} \right |=\left | A_{1} \right |.\left | A_{2} \right |....\left | A_{n} \right |[/tex]
III) Giai thừa
1) Định nghĩa

Với mọi số tự nhiên $n$, tích $1.2.3....n$ được gọi là $n$ giai thừa và kí hiệu $n!$. Vậy $n!=1.2.3..n$
Ta quy ước $0!=1$
2) Tính chất
  • $n!=n \cdot (n-1)!$
  • $n!=n(n-1)(n-2)....(n-k-1)k!$
IV) Hoán vị
1) Định nghĩa

Cho tập $A$ gồm $n$ phần tử [tex](n\geq 1)[/tex]. Khi sắp xếp $n$ phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập $A$
2) Số hoán vị của n phần tử
Kí hiệu số hoán vị của $n$ phần tử là [tex]P_{n}[/tex]
V) Chỉnh hợp
1) Định nghĩa

Cho tập $A$ gồm $n$ phần tử với số nguyên $k$ với [tex]1\leq k\leq n[/tex]. Khi lấy $k$ phần tử của $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chấp $k$ của $n$ phần tử của $A$
2) Số chỉnh hợp
Kí hiệu: [tex]A_{n}^{k}[/tex] là số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử
Công thức: [tex]A_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!}[/tex]
VI) Tổ hợp
1) Định nghĩa

Cho tập $A$ có $n$ phần tử và số nguyên $k$ với [tex]1\leq k\leq n[/tex]. Mỗi tập con của $A$ có $k$ phần tử được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử của $A$
2) Số tổ hợp
Kí hiệu: [tex]C_{n}^{k}[/tex] là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử
Công thức: [tex]C_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}[/tex]
VII) Nhị thức Newton
1) Định lí

Với mọi [tex]a,b\in \mathbb{R};n\in \mathbb{N}[/tex]. Ta có:
[tex](a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}=C_{n}^{1}a^{n-1}b+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+C_{n}^{n}b^{n}[/tex]
2) Nhận xét
Trong khai triển Newton [tex](a+b)^{n}[/tex] có các tính chất sau
  • Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n
  • Các hệ số có tính đối xứng: [tex]C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}[/tex]
  • Số hạng tổng quát: [tex]T_{k+1}=C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}[/tex]
3) Một số hệ quả:
[tex](1+x)^{n}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+x^{2}C_{n}^{2}+...+X^{n}C_{n}^{n}[/tex]
Từ khai triển này ta suy ra các kết quả sau
  • [tex]C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+...+C_{n}^{n}=2^{n}[/tex]
  • [tex]C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-...+(-1)^{n}C_{n}^{n}=0[/tex]
 
Last edited:

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Chương 3 : DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
I) Phương pháp quy nạp toán học
PP quy nạp toán học dùng để chứng minh mệnh đề chưa biến $A(n)$ đúng với mọi $n \in N$ và $n \geq n_{o}$
Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng khi $n = n_{o}$
Bước 2 : Với k là một số nguyên tùy ý, xuất phát từ giả thiết $A(n)$ là mệnh đề đúng khi n = k, Chứng minh A(n) cũng là 1 mệnh đề đúng khi $n = k+1$
VD:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có:
$1^3 + 2^3 + …+ n^3 = \dfrac{n^2.(n+1)^2}{4} (1)$
Cách giải:
  • Với $n = 1$ ta có: $1^3 = 1 = \dfrac{1^2.(1+1)^2}{4}$. Như vậy, (1) đúng khi $n = 1$
  • Giả sử (1) đúng khi $n = k, k \in N^*$, ta có: $1^3 + 2^3 + …+ k^3 = \dfrac{k^2.(k+1)^2}{4}$ ta sẽ chứng minh cũng đúng khi $n = k+1$
  • Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: $1^3 + 2^3 + …+ k^3 + (k+1)^3 = \dfrac{k^2.(k+1)^2}{4}+ (k+1)^3 = \dfrac{(k+1)^2}{4}(k^2+4k+4) = \dfrac{(k+2)^2.(k+1)^2}{4}$
Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương n
II) Dãy số.
1. Định nghĩa.

Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương $N^*$ được gọi là một dãy số vô hạn( hay còn gọi tắt là dãy số).
2) Kí hiệu
Người ta thường kí hiệu dãy số $u = u(n)$ bới $(u_{n})$, và gọi $u_{n}$ là số hạng tổng quát của dãy đó.
Người ta cũng thường viết $u_{n}$ dưới dạng khai triển: $u_{1}, u_{2}…. u_{n}….$
3) Các cách cho một dãy số
Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát .
VD: Cho dãy số $u_{n}$ với $u_{n} = \dfrac{n-1}{2n+1}$
Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi
VD: Xét dãy số $u_{n}$ xác định bởi $u_{1} = 1$ và với mọi $n \geq 2 : u_{n} =2. u_{n-1} +2$
Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số
4) Dãy số tăng, dãy số giảm
Dãy số $u_{n}$ được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta luôn có $u_{n} < u_{n+1}$
Dãy số $u_{n}$ được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta luôn có $u_{n} > u_{n+1}$
5) Dãy số bị chặn
  • Dãy số $u_{n}$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: $U_{n} \leq M,$ với mọi [tex]n\in \mathbb{N}^*[/tex]
  • Dãy số $u_{n}$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho $U_{n} \geq m,$ với mọi [tex]n\in \mathbb{N}^*[/tex]
  • Dãy số $u_{n}$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trêm vừa bị chặn dưới tức là tồn tại hai số m, M sao cho: $m \leq Un \leq M$, với mọi [tex]n\in \mathbb{N}^*[/tex]
III). Cấp số cộng
  • Cấp số cộng là dãy số được xác định bởi:[tex]\left\{\begin{matrix} u_1=a u_n=u_{n-1}+d\\ n\geq 2 \end{matrix}\right.[/tex] với d là công sai
  • Tính chất: [tex]u_{n}=u_1+(n-1)d[/tex] ; [tex]2u_n=u_{n-1}+u_{n+1}[/tex]
  • Tổng cấp số cộng: [tex]S_n=n.u_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d[/tex], với [tex]S_n[/tex] là tổng của n số hạng đầu
IV. Cấp số nhân
  • Cấp số nhân là dãy số được xác đinh bởi: [tex]\left\{\begin{matrix} u_1=a u_n=u_{n-1}.q\\ n\geq 2\end{matrix}\right.[/tex] với q là công bội
  • Tính chất: [tex]u_n=u_1.q^{n-1}[/tex]; [tex]u_n^2=u_{n-1}.u_{n+1}[/tex]
  • Tổng cấp số cộng: $S_n=u_1.\dfrac{q^n-1}{q-1}$
  • Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: nếu dãy số là cấp số nhân với công bội q sao cho |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. khi đó, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính: $S=\dfrac{u_1}{1-q}$
 

boywwalkman

Học sinh chăm học
Thành viên
30 Tháng bảy 2021
468
450
76
17
Quảng Nam
THPT chuyên Lê Thánh Tông
Chương 3 : DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
I) Phương pháp quy nạp toán học
PP quy nạp toán học dùng để chứng minh mệnh đề chưa biến $A(n)$ đúng với mọi $n \in N$ và $n \geq n_{o}$
Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng khi $n = n_{o}$
Bước 2 : Với k là một số nguyên tùy ý, xuất phát từ giả thiết $A(n)$ là mệnh đề đúng khi n = k, Chứng minh A(n) cũng là 1 mệnh đề đúng khi $n = k+1$
VD:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có:
$1^3 + 2^3 + …+ n^3 = \dfrac{n^2.(n+1)^2}{4} (1)$
Cách giải:
  • Với $n = 1$ ta có: $1^3 = 1 = \dfrac{1^2.(1+1)^2}{4}$. Như vậy, (1) đúng khi $n = 1$
  • Giả sử (1) đúng khi $n = k, k \in N^*$, ta có: $1^3 + 2^3 + …+ k^3 = \dfrac{k^2.(k+1)^2}{4}$ ta sẽ chứng minh cũng đúng khi $n = k+1$
  • Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: $1^3 + 2^3 + …+ k^3 + (k+1)^3 = \dfrac{k^2.(k+1)^2}{4}+ (k+1)^3 = \dfrac{(k+1)^2}{4}(k^2+4k+4) = \dfrac{(k+2)^2.(k+1)^2}{4}$
Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương n
II) Dãy số.
1. Định nghĩa.

Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương $N^*$ được gọi là một dãy số vô hạn( hay còn gọi tắt là dãy số).
2) Kí hiệu
Người ta thường kí hiệu dãy số $u = u(n)$ bới $(u_{n})$, và gọi $u_{n}$ là số hạng tổng quát của dãy đó.
Người ta cũng thường viết $u_{n}$ dưới dạng khai triển: $u_{1}, u_{2}…. u_{n}….$
3) Các cách cho một dãy số
Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát .
VD: Cho dãy số $u_{n}$ với $u_{n} = \dfrac{n-1}{2n+1}$
Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi
VD: Xét dãy số $u_{n}$ xác định bởi $u_{1} = 1$ và với mọi $n \geq 2 : u_{n} =2. u_{n-1} +2$
Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số
4) Dãy số tăng, dãy số giảm
Dãy số $u_{n}$ được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta luôn có $u_{n} < u_{n+1}$
Dãy số $u_{n}$ được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta luôn có $u_{n} > u_{n+1}$
5) Dãy số bị chặn
  • Dãy số $u_{n}$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: $U_{n} \leq M,$ với mọi [tex]n\in \mathbb{N}^*[/tex]
  • Dãy số $u_{n}$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho $U_{n} \geq m,$ với mọi [tex]n\in \mathbb{N}^*[/tex]
  • Dãy số $u_{n}$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trêm vừa bị chặn dưới tức là tồn tại hai số m, M sao cho: $m \leq Un \leq M$, với mọi [tex]n\in \mathbb{N}^*[/tex]
III). Cấp số cộng
  • Cấp số cộng là dãy số được xác định bởi:[tex]\left\{\begin{matrix} u_1=a u_n=u_{n-1}+d\\ n\geq 2 \end{matrix}\right.[/tex] với d là công sai
  • Tính chất: [tex]u_{n}=u_1+(n-1)d[/tex] ; [tex]2u_n=u_{n-1}+u_{n+1}[/tex]
  • Tổng cấp số cộng: [tex]S_n=n.u_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d[/tex], với [tex]S_n[/tex] là tổng của n số hạng đầu
IV. Cấp số nhân
  • Cấp số nhân là dãy số được xác đinh bởi: [tex]\left\{\begin{matrix} u_1=a u_n=u_{n-1}.q\\ n\geq 2\end{matrix}\right.[/tex] với q là công bội
  • Tính chất: [tex]u_n=u_1.q^{n-1}[/tex]; [tex]u_n^2=u_{n-1}.u_{n+1}[/tex]
  • Tổng cấp số cộng: $S_n=u_1.\dfrac{q^n-1}{q-1}$
  • Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: nếu dãy số là cấp số nhân với công bội q sao cho |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. khi đó, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính: $S=\dfrac{u_1}{1-q}$
Bạn cho mình file pdf để mình in được không nhỉ, tại mình in qua trình duyệt nó bị mất nội dung ở mấy cái bảng.
 

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Bạn cho mình file pdf để mình in được không nhỉ, tại mình in qua trình duyệt nó bị mất nội dung ở mấy cái bảng.
Tạm thời mik chỉ mới làm đc pdf của CTLG, nên bạn có thể in thay thế phần bị mất

Bài tập chương 3 :
BÀI 1
. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC.
Dạng 1. Chứng minh đẳng thức
.
[imath]1)[/imath] [imath]1 + 2 +3 + … +n = \dfrac{n(n+1)}{2}[/imath]
[imath]2)[/imath] [imath]2^2 + 4^2 + … + (2n)^2 = \dfrac{2n(n+1)(2n+1)}{3}[/imath]
[imath]3)[/imath] [imath](1- \dfrac{1}{4})(1- \dfrac{1}{9})….(1- \dfrac{1}{n^2}) = \dfrac{n+1}{2n}[/imath]
[imath]4)[/imath] [imath]1^2 + 3^2 + … + (2n -1)^2 = \dfrac{n(4n^2-1)}{3}[/imath]
[imath]5)[/imath] [imath]1.2.3 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ n(n+1)(n+2) = \dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}[/imath]
Dạng 2. Chứng minh chia hết.
[imath]1)[/imath] Chứng minh với mọi [imath]n \in N^* : n^3 – n[/imath] chia hết cho [imath]6[/imath]
[imath]2)[/imath] Chứng minh với mọi [imath]n \in N^* :2n^3 – 3n^2 +n[/imath] chia hết cho [imath]6[/imath]
[imath]3)[/imath] Chứng minh với mọi [imath]n \in N^* : 16^n – 15n -1[/imath] chia hết cho [imath]225[/imath]
Dạng 3. Chứng minh bất đẳng thức.
[imath]1)[/imath] Chứng minh với mọi [imath]n \in N^* , n \geq 3[/imath] ta có: [imath]2^n > 2n+1[/imath]
[imath]2)[/imath] Chứng minh với mọi [imath]n \in N^*[/imath] ta có: [imath]1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + ….+ \dfrac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}[/imath]
BÀI 2. DÃY SỐ.
Dạng 1. Tìm số hạng thứ k của [imath]u_{n}[/imath]

1) Tìm 5 số hạng đầu của dãy khi
[imath]a) u_{n} = \dfrac{2n^2 -3}{n}[/imath]
[imath]b) u_{n} = sin^2(\dfrac{n.\pi}{4}) + cos\dfrac{2n\pi}{3}[/imath]
[imath]c) u_{n} = (-1)^n . \sqrt{4^n}[/imath]
[imath]d) u1 = 0 và u_{n} = \dfrac{2}{ (u_{n-1})^2+1}[/imath] với [imath]n \geq 2[/imath]
[imath]e) u1 = 1 ; u2 = -2 và u_{n} = u_{n-1} -2. u_{n-2}[/imath]
Dạng 2. Tính tăng giảm của dãy số.
[imath]1) u_{n} = n^3 – 3n^2 +5n -7[/imath]
[imath]2) u_{n} = \dfrac{n+1}{3^n}[/imath]
[imath]3) u_{n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}[/imath]
Dạng 3. Dãy số bị chặn.
[imath]1)[/imath] Chứng minh dãy số [imath]u_{n} = \dfrac{2n+3}{3n+2}[/imath] là 1 dãy số giảm và bị chặn
(sẽ tiếp tục bổ sung)
 

Attachments

  • Công thức lượng giác - HMF-đã chuyển đổi.pdf
    66.6 KB · Đọc: 10
Last edited:

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Chương 4: Giới hạn
A.Giới hạn của dãy số
I) Dãy số có giới hạn 0
1) Định nghĩa:
Ta nói dãy số [imath](u_n)[/imath] có giới hạn là 0 khi n tiến đến dương vô cực, nếu [imath]|u_n|[/imath] có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
2) Kí hiệu: [imath]\underset{n\rightarrow+ \propto }{lim}u_n=0[/imath]
3) Ví dụ: [imath]lim\dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0 ; lim\dfrac{1}{\sqrt[3]{n}}=0[/imath]
4) Một số định lí
+) Cho 2 dãy số [imath]u_{n}[/imath] và [imath]v_{n}[/imath]. Nếu [imath]| u_{n}| \leq v_{n}[/imath] với mọi [imath]n[/imath] và [imath]lim_{v_{n}} = 0[/imath] thì [imath]lim_{u_{n}} = 0[/imath]
+) Nếu [imath]|q| <1[/imath] thì [imath]lim_{q^n} = 0[/imath]
II) Dãy số có giới hạn hữu hạn
1) Định nghĩa

- Ta nói dãy số [imath](u_n)[/imath] có giới hạn là L khi n tiến đến dương vô cực, nếu [imath]\underset{n\rightarrow+ \propto }{lim}(u_n-L)=0[/imath]
kí hiệu: [imath]\underset{n\rightarrow+ \propto }{lim}u_n=L[/imath]
- Đối với giới hạn của dãy số: [imath]\underset{n\rightarrow+ \propto}{lim}u_n=limu_n[/imath]
2) Định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số.
a) Nếu [imath]limu_n=a[/imath] và [imath]limv_n=b[/imath] thì:
[imath]lim(u_n\pm v_n)=a\pm b[/imath]
[imath]lim(u_n.v_n)=limu_n.limv_n=a.b[/imath]
[imath]lim\frac{u_n}{v_n}=\frac{limu_n}{limv_n}=\frac{a}{b}[/imath] với [imath]b\neq 0[/imath]
b) Nếu [imath]u_n>0[/imath] với mọi n và [imath]limu_n=a[/imath] thì [imath]a>0[/imath]; [imath]lim\sqrt{u_n}=\sqrt{a}[/imath]
c) Một vài giới hạn đặc biệt:
[imath]lim\frac{1}{n}=0[/imath]; [imath]lim\frac{1}{n^k}=0,k\in \mathbb{N^*}[/imath]
[imath]limq^n=0[/imath] với [imath]|q|<1[/imath]
[imath]u_n=c=>limu_n=c[/imath]
3) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
[imath]S = u_{1} + u_{1}.q + u_{1}.q^2 + … = \dfrac{u_{1}}{1-q}[/imath]
II). Dãy số có giới hạn vô cực
1) Định nghĩa:

  • Ta nói dãy số [imath]u_n[/imath] có giới hạn dương vô cực khi n tiến tới dương vô cực nếu [imath]u_n[/imath] có thể lớn hơn 1 số dương bất kì, kể từ số hạng nào đó trở đi. [imath]limu_n=+\propto[/imath]
  • Ta nói dãy số [imath]u_n[/imath] có giới hạn âm vô cực khi n tiến tới dương vô cực nếu [imath]u_n[/imath] có thể nhỏ hơn 1 số âm bất kì, kể từ số hạng nào đó trở đi. [imath]limu_n=-\propto[/imath]
2) Một vài giới hạn đặc biệt:
  • [imath]lim(n^k)=+\propto[/imath] với k nguyên dương
  • [imath]lim(q^n)=+\propto[/imath] với q>1
3) Một vài quy tắc tính giới hạn vô cực
 
Last edited:

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Chương 4: Giới hạn
A.Giới hạn của dãy số
I) Dãy số có giới hạn 0
1) Định nghĩa:
Ta nói dãy số [imath](u_n)[/imath] có giới hạn là 0 khi n tiến đến dương vô cực, nếu [imath]|u_n|[/imath] có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
2) Kí hiệu: [imath]\underset{n\rightarrow+ \propto }{lim}u_n=0[/imath]
3) Ví dụ: [imath]lim\dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0 ; lim\dfrac{1}{\sqrt[3]{n}}=0[/imath]
4) Một số định lí
+) Cho 2 dãy số [imath]u_{n}[/imath] và [imath]v_{n}[/imath]. Nếu [imath]| u_{n}| \leq v_{n}[/imath] với mọi [imath]n[/imath] và [imath]lim_{v_{n}} = 0[/imath] thì [imath]lim_{u_{n}} = 0[/imath]
+) Nếu [imath]|q| <1[/imath] thì [imath]lim_{q^n} = 0[/imath]
II) Dãy số có giới hạn hữu hạn
1) Định nghĩa

- Ta nói dãy số [imath](u_n)[/imath] có giới hạn là L khi n tiến đến dương vô cực, nếu [imath]\underset{n\rightarrow+ \propto }{lim}(u_n-L)=0[/imath]
kí hiệu: [imath]\underset{n\rightarrow+ \propto }{lim}u_n=L[/imath]
- Đối với giới hạn của dãy số: [imath]\underset{n\rightarrow+ \propto}{lim}u_n=limu_n[/imath]
2) Định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số.
a) Nếu [imath]limu_n=a[/imath] và [imath]limv_n=b[/imath] thì:
[imath]lim(u_n\pm v_n)=a\pm b[/imath]
[imath]lim(u_n.v_n)=limu_n.limv_n=a.b[/imath]
[imath]lim\frac{u_n}{v_n}=\frac{limu_n}{limv_n}=\frac{a}{b}[/imath] với [imath]b\neq 0[/imath]
b) Nếu [tex]u_n>0[/tex] với mọi n và [tex]limu_n=a[/tex] thì [tex]a>0[/tex]; [tex]lim\sqrt{u_n}=\sqrt{a}[/tex]
c) Một vài giới hạn đặc biệt:
[imath]lim\frac{1}{n}=0[/imath]; [imath]lim\frac{1}{n^k}=0,k\in \mathbb{N^*}[/imath]
[imath]limq^n=0[/imath] với [imath]|q|<1[/imath]
[imath]u_n=c=>limu_n=c[/imath]
3) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
[imath]S = u_{1} + u_{1}.q + u_{1}.q^2 + … = \dfrac{u_{1}}{1-q}[/imath]
II). Dãy số có giới hạn vô cực
1) Định nghĩa:

  • Ta nói dãy số [imath]u_n[/imath] có giới hạn dương vô cực khi n tiến tới dương vô cực nếu [imath]u_n[/imath] có thể lớn hơn 1 số dương bất kì, kể từ số hạng nào đó trở đi.[imath]limu_n=+\propto[/imath]
  • Ta nói dãy số [imath]u_n[/imath] có giới hạn âm vô cực khi n tiến tới dương vô cực nếu [tex]u_n[/tex] có thể nhỏ hơn 1 số âm bất kì, kể từ số hạng nào đó trở đi. [imath]limu_n=-\propto[/imath]
2) Một vài giới hạn đặc biệt:
  • [imath]lim(n^k)=+\propto[/imath] với k nguyên dương
  • [imath]lim(q^n)=+\propto[/imath] với q>1
3) Một vài quy tắc tính giới hạn vô cực

a) Quy tắc 1: [imath]limu_{n} = \pm \propto[/imath] và [imath]limv_{n} = \pm \propto[/imath] thì [imath]lim(u_{n} . v{n})[/imath] được cho trong bảng sau:
[imath]limu_{n}[/imath][imath]limv_{n}[/imath][imath]lim(u_{n} . v{n})[/imath]
[imath]+\propto[/imath]+\propto$[imath]+\propto[/imath]
[imath]+\propto[/imath][imath]-\propto[/imath][imath]-\propto[/imath]
[imath]-\propto[/imath][imath]+\propto[/imath][imath]-\propto[/imath]
[imath]-\propto[/imath][imath]-\propto[/imath][imath]+\propto[/imath]
[TBODY] [/TBODY]
b) Nếu [imath]limu_{n} = \pm \propto[/imath] và [imath]limv_{n} = L \neq 0[/imath] thì [imath]lim(u_{n} . v{n})[/imath] được cho trong bảng sau:
[imath]limu_{n}[/imath]Dấu của L[imath]lim(u_{n} . v{n})[/imath]
[imath]+\propto[/imath][imath]+[/imath][imath]+\propto[/imath]
[imath]+\propto[/imath][imath]-[/imath][imath]-\propto[/imath]
[imath]-\propto[/imath][imath]+[/imath][imath]-\propto[/imath]
[imath]-\propto[/imath][imath]-[/imath][imath]+\propto[/imath]
[TBODY] [/TBODY]

 
Last edited:

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
B.Giới hạn hàm số
I) Giới hạn hữu hạn hàm số tại 1 điểm
1) Định nghĩa
Giả sử $(a;b)$ là 1 khoảng chứa điểm $x_{0}$, và $f$ là 1 hàm số xác định trên tập $(a;b) \ x_{0}$ . Ta nới rằng hàm số $f$ có giới hạn là số thực L khi x tiến dần đến x_{0} (hoặc tại điểm $x_{0}$) nếu với mọi dãy số $(x_{n})$ trong tập $(a;b) \ x_{0}$ mà $limx_{n} = x_{0}$, ta đều có $lim(x_{n}) = L$
2) Kí hiệu
[tex]\underset{x\rightarrow x_{0} }{lim}f(x) = L[/tex].
II) Giới hạn vô cực tại 1 điểm
1) Định nghĩa
Giả sử $(a;b)$ là 1 khoảng chứa điểm $x_{0}$, và $f$ là 1 hàm số xác định trên tập $(a;b) \ x_{0}$ . Ta nới rằng hàm số $f$ có giới hạn là số thực L khi x tiến dần đến $x_{0}$ (hoặc tại điểm $x_{0}$) nếu với mọi dãy số $(x_{n})$ trong tập $(a;b) \ x_{0}$ mà $limx_{n} = x_{0}$, ta đều có $lim(x_{n}) = +\infty$
2) Kí hiệu
[tex]\underset{x\rightarrow x_{0} }{lim}f(x)=+\propto[/tex].
III) Giới hạn hàm số tại vô cực
1) Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K. ta nói nằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần đến a nếu với mọi dãy số [tex](x_n)[/tex], [tex]x\in K[/tex] và [tex]x_n\neq a[/tex] với mọi n nguyên dương mà [tex]lim(x_n)=a[/tex] đều có [tex]limf(x_n)=L[/tex]
2) Kí hiệu: [tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=L[/tex]
3) Một số định lý về giới hạn hàm số:
Nếu [tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=L[/tex] và [tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}g(x)=M[/tex] thì:
[tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}[f(x)\pm g(x)]=\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)\pm \underset{x\rightarrow a}{lim}g(x)=L\pm M[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}[f(x). g(x)]=\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x). \underset{x\rightarrow a}{lim}g(x)=L. M[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)}{\underset{x\rightarrow a}{lim}g(x)}=\frac{L}{M}[/tex] với [tex]M\neq 0[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}\sqrt{f(x)}=\sqrt{\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)}=\sqrt{L}[/tex] với [tex]f(x)\geq 0;L\geq 0[/tex]
Định lý kẹp: cho ba hàm số f(x), g(x) và h(x) xác định trên khoảng K sao cho [tex]g(x)\leq f(x)\leq h(x)[/tex] và [tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow a}{lim}h(x)=L[/tex] thì ta cũng có [tex]\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=L[/tex]
IV) Giới hạn một bên
1. Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa 1:
Giả sử hàm số $f$ xác định trên khoảng $\left( {{x_0};b} \right)\left( {{x_0} \in \mathbb{R}} \right)$. Ta nói rằng hàm số $f$ có giới hạn bên phải là số thực L khi x tiến dần đến ${x_0}$ (hoặc tại điểm ${x_0}$) nếu với mọi dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ trong khoảng $\left( {{x_0};b} \right)$ mà $\lim {x_n} = {x_0}$, ta đều có $\operatorname{l} {\text{im}}\,f\left( {{x_n}} \right) = L$. Khi đó ta viết $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L$ hoặc$f\left( x \right) \to L\,khi\,x \to x_0^ + $.
Định nghĩa 2: Giả sử hàm số $f$ xác định trên khoảng $\left( {a;{x_0}} \right)\left( {{x_0} \in \mathbb{R}} \right)$. Ta nói rằng hàm số $f$ có giới hạn bên trái là số thực L khi x tiến dần đến ${x_0}$(hoặc tại điểm ${x_0}$) nếu với mọi dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ trong khoảng $\left( {a;{x_0}} \right)$ mà $\lim {x_n} = {x_0}$, ta đều có $\operatorname{l} {\text{im}}\,f\left( {{x_n}} \right) = L$. Khi đó ta viết $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L$ hoặc $f\left( x \right) \to L\,khi\,x \to x_0^ - $.
Nhận xét:
1) Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\, = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_{_0}^ - } f\left( x \right) = L$
2) Ta thừa nhận điều khoản ngược lại cũng đúng, nghĩa là:
Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L$ thì hàm số $f$có giới hạn tại điểm ${x_0}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$
3) Các định lí 1 và 2 trong bài 4 vẫn đúng khi thay $x \to {x_0}$ bởi $x \to x_0^ - $ hoặc $x \to x_0^ + $.
2. Giới hạn vô cực
1) Các định nghĩa $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty $
được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.
Bài tập giới hạn :
 

Attachments

  • phan-loai-va-phuong-phap-giai-bai-tap-gioi-han.pdf
    1.1 MB · Đọc: 8
Last edited:

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Chương V : Đạo hàm
I. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
1) Khái niệm

Cho hàm số $=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ có $x_0$ nằm trong khoảng đó.
- Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số [tex]\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/tex] khi x dần đến [tex]x_0[/tex] được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm[tex]x_0[/tex].
- Kí hiệu: [tex]f'(x_0)[/tex] hay [tex]y'(x_0)[/tex]. nghĩa là $f'(x_0)=\underset{x\rightarrow x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
2) Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa.
Muốn tính đạo hàm của hàm số [tex]f(x)[/tex] tại điểm [tex]x_0[/tex] theo định nghĩa, ta thực hiện hai bước sau:
Bước 1: Tính [tex]\Delta y[/tex] theo công thức [tex]\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)[/tex]. trong đó [tex]\Delta x[/tex] là gia đối số của biến số tại [tex]x_0[/tex].
Bước 2: Tìm giới hạn [tex]\underset{\Delta x\rightarrow 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}[/tex]
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y=x^2$ tại 2
giải:
Ta có:
$\Delta y=(2+\Delta x)^2-2^2 = \Delta x( 4+ \Delta x)$
Đạo hàm của hàm số tại $x_0=2$
$\underset{\Delta x\rightarrow 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}= 4$
3) Ý nghĩa hình học của đạo hàm
- Đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_{0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_{0} ( x_{0}; f(x_{0})$
- Phương trình tiếp tuyến $y = f’(x_{0})(x – x_{0}) + f(x_{0})$
II) . Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
1) Định nghĩa

Cho hàm số [tex]f(x)[/tex] xác định trên khoảng K, ta có định nghĩa:
+ Hàm số [tex]f(x)[/tex] có đạo hàm trên khoảng K nếu nó có đạo hàm $f'(x) $ tại mọi điểm thuộc khoảng K.
+ Nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng K thì hàm số $f'(x) $ được gọi là đạo hàm của hàm số [tex]f(x)[/tex]
2) Định lí
-
Hàm số có đạo hàm trên khoảng K thì hàm số đó liên tục trên khoảng K.
- Một số đạo hàm của hàm số cơ bản:
+ Đạo hàm của hằng số bằng 0. $c'=0$
+ Đạo hàm của hàm số $y=x$ là $y'=1$
+ Đạo hàm của hàm số $y=x^n$ là $y'=n.x^{n-1}$
+ Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ là $\frac{1}{2\sqrt{x}}$
+ Đạo hàm của hàm số $y=\frac{1}{x}$ là $y'=-\frac{1}{x^2}$
*Đạo hàm của 1 số hàm khác :
+ [tex](f(x) \pm g(x))'=f'(x) \pm g'(x)[/tex]
+ [tex](f(x).g(x))'=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)[/tex]
+ [tex]\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x).g(x)-f(x).g'(x)}{g^2(x)}[/tex]
III) Đạo hàm của hàm hợp:
- Cho hàm số [tex]f(x)[/tex] và [tex]u(x)[/tex] .Khi đó [tex]f[u(x)][/tex] là hàm hợp.
- Công thức đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm hợp [tex]y=f[u(x)][/tex]. ta có đạp hàm: [tex]y'=f'(u).u'(x)[/tex]
 

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Chương I: Phép dời hình và phép đồng dạng
I) Phép dời hình
1. Phép tịnh tiến
a) Định nghĩa

- Trong mặt phẳng cho $\overrightarrow{u}$. phép biến mỗi điểm M thành M' sao cho $\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{u}$ được gọi là phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{u}$
- Kí hiệu: $T_{\overrightarrow{u}}$
Phép tịnh tiến [tex]\overrightarrow{u}[/tex] biến M thành M': [tex]T_{\overrightarrow{u}}(M)=M'[/tex]
b) Tính chất
  • Nếu phép tịnh tiến biến 2 điểm M và N lần lượt thành 2 điểm M’ và N’ thì $M’N’ = MN$
  • Biến 1 đường thẳng thành 1 đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó
  • Biến đa giác thành đa giác bằng với đa giác đã cho
  • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính với đường tròn đã cho
c) Biểu thức tọa độ
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $M(x;y)$ và $\overrightarrow{u}(a;b)$ gọi [tex]M'(x';y')=T_{\overrightarrow{u}}(M)=>\left\{\begin{matrix} x'=x+a\\ y'=y+b \end{matrix}\right.[/tex]
2. Phép đối xứng trục
a) Định nghĩa

- Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua a
- Phép đối xứng qua đường thẳng a được gọi là phép đối xứng trục. Ký hiệu Đ[tex]_a[/tex]
Ví dụ: Phép đối xứng trục d biến M thành M’, ký hiệu: M’ = Đ[tex]_a[/tex](M)
b) Tính chất
  • Biến 3 điển thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự giữa các điểm
  • Biếnn đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
  • Biến đa giác thành đa giác bằng đa giác đã cho
  • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
  • d là trục đối xứng của hình (H) khi và chỉ khi Đ[tex]_d(H)=H[/tex]
3) Phép đối xứng tâm
a. Định nghĩa

Phép đối xứng qua điểm O là 1 phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua O, có nghĩa là : $\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{0}$
b) Tính chất
+) Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính
c) Biểu thức tọa độ.
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(x;y) và I(a;b). phép đối xứng tâm I biến M thành M'(x';y'):
$\left\{\begin{matrix} x'=2a-x\\ y'=2b-y \end{matrix}\right.$
4. Phép quay
a) Định nghĩa

- Cho điểm O và góc lượng giác $\alpha$, phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M thành M’ sao cho: OM’ = OM và góc lượng giác (OM; OM’) = \alpha được gọi là phép quay tâm O góc \alpha
$Q_{(O;\alpha )}(M)=M'<=>\left\{\begin{matrix} OM=OM'\\ (OM,OM')=\alpha \end{matrix}\right.$
- Kí hiệu: $Q(O;\alpha )$
- nếu [tex]\alpha =(2k+1)\pi[/tex] => phép đối xứng tâm O
- nếu [tex]\alpha =2k\pi[/tex] => phép đồng nhất
b) Tính chất
  • Biến 3 điển thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự giữa các điểm
  • Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
  • Biến đa giác thành đa giác bằng đa giác đã cho
  • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
c) Biểu thức tọa độ
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M(x;y), phép quay tâm O góc $\alpha$ biến $M(x;y)$ thành $M(x';y')$
$\left\{\begin{matrix} x'=x.cos\alpha -y.sin\alpha \\ y'=x.sin\alpha +y.cos\alpha \end{matrix}\right.$
II) Phép đồng dạng
1) Phép vị tự
a) Định nghĩa

- Cho điểm O và $k\neq 0$ .Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M' sao cho $\overrightarrow{OM'}=k.\overrightarrow{OM}$ được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.
- Kí hiệu $V_{(I;k)}$
b) Tính chất
  • $M'=V_{(O;k)}(M);N'=V_({O;k})(N)=>\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{M'N'}=k.\overrightarrow{MN}\\ M'N'=|k|.MN \end{matrix}\right.$
  • Biến 3 điển thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự giữa các điểm
  • Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho
  • Biến đa giác thành đa giác đồng dạng với đa giác đã cho
  • Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R
c) Biểu thức tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy, I(a;b), M(x;y)$ và $k\neq 0$. phép vị tự tâm I tỉ số k biến M thành $M'(x';y')$
$\left\{\begin{matrix} x'=kx+(1-k)a\\ y'=ky+(1-k)b \end{matrix}\right.$
2) Phép đồng dạng
1. Định nghĩa

Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k, (k>0), nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương ứng của chúng, ta luôn có $M'N' = kMN$
2) Tính chất:
  • Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữ các điểm ấy.
  • Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng có độ dài bằng $a$ thành đoạn thẳng có độ dài bằng $ka$.
  • Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là $k$, biến góc thành góc bằng nó.
  • Biến đường tròn bán kình $R$ thành đường tròn bán kính $k R$
3) Nhận xét
  • Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1
  • Phép vị tự tỉ số $k$ là phép đồng dạng tỉ số $k$
  • Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số $k$ và phép đồng dạng tỉ số $p$ ta được phép đồng dạng tỉ số $pk$
  • Phép đồng dạng tỉ số $k$ là hợp thành của một phép dời hình và một phép vị tự tỉ số $k$ hoặc $-k$. Nó cũng là hợp thành của một phép vị tự tỉ số $k$ hoặc $-k$ và một phép dời hình
Bài tập :
 

Attachments

  • phep-doi-hinh-va-phep-dong-dang-trong-mat-phang-lu-si-phap.pdf
    1.2 MB · Đọc: 4

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Quan hệ song song
I) Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
1) Mở đầu về hình học không gian

Môn học nghiên cứu các tính chất của những hình có thể không cùng nằm trong 1 mặt phẳng gọi là hình học không gian
a) Mặt phẳng
  • Trang giấy, mặt bẳng, mặt nước lặng trong hồ .. cho ta hình ảnh 1 phần mặt phẳng trong không gian
  • Cách biểu diễn trong hình học: Người ta thường biểu diễn một mặt phẳng bằng 1 hình bình hành và dùng chữ cái đặt trong dấu ( ) để đặt tên cho mp ấy
  • Ví dụ : mặt phẳng (Q) ; mặt phẳng( P) , mặt phẳng $(\alpha)$
  • Viết tắt là $mp(Q) ; mp(P), mp(\alpha)$
b) Điểm thuộc mặt phẳng
  • Điểm A thuộc mp(P), khi đó ta kí hiệu $A \in mp(P)$ hay $A \in (P)$
  • Điểm A không thuộc mp(P) hay ta còn nói điểm A ở ngoài mp(P), khi đó ta kí hiệu $A \notin mp(P)$ hay $A \notin (P)$
2) Hình biểu diễn của một hình trong không gian
Một số quy tắc
:
- Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng.
- Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn là hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau)
- Dùng nét liền ( ____ ) để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng những nét đứt đoạn ( _ _ _ _ ) để biểu diễn cho những đường bị khuất
3) Một số tính chất thừa nhận trong hình học không gian
- Có 1 và chỉ 1 đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt cho trước
- Có 1 và chỉ 1 mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước
- Tồn tại 4 điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng
- Nếu 2 mp phân biệt có 1 điểm chung thì chúng có 1 đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của 2 mp đó
- Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng
4) Một số định lí
- Nếu một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mp đó
C/m : Giả sử A và B là 2 điểm phân biệt của mp(P), $\Delta$ là đường thẳng đi qua A và B
Theo tính chất thừa nhận thứ 5, có 1 đường thẳng $\Delta’$ đi qua AB
Theo tính chất thừa nhận thứ nhất thì $\Delta \equiv \Delta’$
5) Điều kiện xác định mặt phẳng
- Một mặt phẳng xác định nếu biết nó đi qua 3 điểm không thẳng hàng
- Một mặt phẳng xác định nếu biết nó đi qua 1 đường thẳng và 1 điểm không thuộc đường thẳng đó
- Một mặt phẳng xác định nếu biết nó đi qua 2 đường thẳng cắt nhau
6) Hình chóp và hình tứ diện
a) Hình chóp

Cho đa giác $A_{1}A_{2}…A_{n}$ và 1 điểm S nằm ngoài mp chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh $A_{1}; A_{2} …A_{n}$ để được n tam giác $SA_{1}A_{2}; SA_{2}A_{3} … SA_{n}A_{1}$
Hình gồm n tam giác đó và đa giác $A_{1}A_{2}…A_{n}$ gọi là hình chóp và được kí hiệu là $S. A_{1}A_{2}…A_{n}$
- Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp
- Đa giác $A_{1}A_{2}…A_{n}$ gọi là mặt đáy của hình chóp
- Các cạnh của mặt đáy gọi là cạnh đáy của hình chóp
- Các đoạn $SA_{1}; SA_{2}….SA_{n}$ gọi là cạnh bên của hình chóp
- Các tam giác $SA_{1}A_{2}; SA_{2}A_{3} … SA_{n}A_{1}$ gọi là mặt bên của hình chóp
Ngoài ra: Nếu hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác … thì gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác ….
b) Hình tứ diện
Cho 4 điểm $A;B;C;D$ không đồng phẳng. Hình gồm 4 tam giác $ABC,ACD,ABD,BCD$ gọi là hình tứ diện
- Các điểm $A,B,C,D$ là đỉnh của tứ diện
- Các đoạn thẳng $AB,BC,CD,DA,CA,BD$ gọi là cạnh của tứ diện
- Hai cạnh không có điểm chung gọi là cạnh đối diện
- Các tam giác $ABC,ABD,ACD,BCD$ gọi là các mặt của tứ diện
- Đỉnh không nằm trên mặt đó gọi là đỉnh đối diện với mặt đó
Đặc biệt: Hình tứ diện có 4 mặt là tam giác đều gọi là tứ diện đều
 
  • Like
Reactions: tuananh982

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
II) Hai đường thẳng song song
1) Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

  • Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong 1 mặt phẳng
  • Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng
  • Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung
2) Hai đường thẳng song song
  • Trong không gian, qua 1 điểm ngoài 1 đường thẳng, có 1 và chỉ 1 đường thẳng song song với đường thẳng đó
  • Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với 1 đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
Định lí : Nếu 3 mặt phẳng đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt thì 3 giao tuyến ấy hoặc đồng quy, hoặc đôi một song song

upload_2021-9-2_9-14-54-png.183077
Chứng minh:
$(P) \cap (Q) = c$
$(R) \cap (P) = a ; (R) \cap (Q) = b$
TH1: $a \cap b = K$
Suy ra: $K \in a$ và $K \in b$ hay $K \in (P)$ và $K \in(Q)$
Suy ra: $K \in c$
Vậy $a , b,c$ đồng quy
TH2: $a //b$
Giả sử $a \cap c = K$
Suy ra: $K \in c$ hay $K \in (P)$ ; $K \in (Q) ; K \in (R)$
Hay K thuộc đường thẳng giao của (Q) và (R) $( K \in b)$ suy ra a cắt b ( Mẫu thuẫn)
Vậy $a //b//c$
Hệ quả: Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua 2 đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với 2 đường thẳng đó ( hoặc trùng với 1 trong 2 đường thẳng đó) (Chứng minh tương tự)
III) Đường thẳng song song với mặt phẳng
1) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

a) Đường thẳng a và mp(P) có 2 điểm chung phân biệt khi đó đường thẳng a nằm trên mp(P) tức a \subset mp(P)
b) Đường thẳng a và mp(P) có 1 điểm chung duy nhất A khi đó ta nói (P) cắt a tại A
c) Đường thẳng a và mp(P) không có điểm chung. Khi đó ta nói đường thẳng a //(P)
2) Điều kiện để đường thẳng song song với mp
Nếu đường thẳng a không nằm trên mp(P) và song song với 1 đường thẳng nào đó nằm trên (P) thì a song song với (P)
3) Tính chất
Định lí 2
: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với a
C/m: $(Q) \cap (P) = b$
Giả sử $a \cap b = K \Rightarrow K \in (P)$ hay $a \cap (P) = K$ ( mẫu thuẫn)
Vậy $a // b$
Hệ quả 1: Nếu 1 đường thẳng song song với 1 mặt phẳng thì nó song song với 1 đường thẳng nào đó trong mặt phẳng
Hệ quả 2: Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau cùng song song với 1 đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó

upload_2021-9-2_9-19-21-png.183081

$(P) \cap (Q) = b ; (Q) //a$ và $(P) //a$
Lấy M \in b
$mp(M;a) \cap (P) = x$ ( x đi qua M và // a)
$mp(M;a) \cap (Q) = y$ ( y đi qua M và // a)
Mà qua 1 điểm chỉ có 1 đường thẳng duy nhất song song với 1 đường thẳng khác
$\Rightarrow x \equiv y \equiv b$
Định lí 3 : Nếu a và b là 2 đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b
upload_2021-9-2_9-15-50-png.183079

IV) Hai mặt phẳng song song
1) Vị trí tương đối của 2 mp phân biệt
a) Định nghĩa
: Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung
b) Điều kiện: Nếu mp(P) chứa 2 đường thẳng a,b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) // (Q)
c) Tính chất
1) Qua 1 điểm nằm ngoài 1 mp, có 1 và chỉ một mặt phẳng song song với mp đó
Hệ quả:
· Nếu đường thẳng a song song với mp(Q) thì có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa a và song song với (Q)
· Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau
2) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song
 

Attachments

  • upload_2021-9-2_9-14-54.png
    upload_2021-9-2_9-14-54.png
    19.6 KB · Đọc: 434
  • upload_2021-9-2_9-15-50.png
    upload_2021-9-2_9-15-50.png
    52.4 KB · Đọc: 423
  • upload_2021-9-2_9-19-21.png
    upload_2021-9-2_9-19-21.png
    7.7 KB · Đọc: 430

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
2) Định lí Ta-lét trong không gian
Định lí 2: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Có nghĩa là : Nếu 3 mp đôi 1 song song (P); (Q); (R) cắt hai đường thẳng a và a’ lần lượt tại A;B;C và A’;B’;C’ thì $\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC}{B’C’} = \dfrac{AC}{A’C’}$
upload_2021-9-2_20-1-34-png.183167

Định lí Talet đảo: Cho 2 đường thẳng chéo nhau a và a’. Lấy các điểm phân biệt A;B;C trên a và A’; B’;C’ trên a’ sao cho
$\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC}{B’C’} = \dfrac{AC}{A’C’}$
Khi đó ba đường thẳng AA’;BB’;CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng
3) Hình lăng trụ và hình hộp

Cho 2 mp (P) //(P’). Trên (P) cho đa giác $A_{1}A_{2}…A_{n}$
Qua các đỉnh $A_{1};A_{2};…;A_{n}$ ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và lần lượt cắt mp(P’) tại $A’_{1};A’_{2};…;A’_{n}$
Hình hợp bởi các hình bình hành $A_{1}A_{2}A’_{2}A’_{1}; A_{2}A_{3}A’_{3}A’_{2}; …$ và 2 đa giác $A_{1}A_{2}…A_{n}; A’_{1}A’_{2}…A’_{n}$ gọi là hình lăng trụ. Kí hiệu là $A_{1}A_{2}…A_{n}. A’_{1}A’_{2}…A’_{n}$
upload_2021-9-2_20-2-34-png.183168

  • Mỗi hình bình hành gọi là mặt bên lăng trụ
  • Hai đa giác $A_{1}A_{2}…A_{n}; A’_{1}A’_{2}…A’_{n}$ gọi là đáy
  • A_{n}A’_{n} gọi là cạnh bên của lăng trụ
  • Các đỉnh của 2 đáy gọi là đỉnh của hình trụ
Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.
4) Hình chóp cụt
Cho hình chóp S. A_{1}A_{2}…A_{n} và 1 mặt phẳng (P) không qua đỉnh , song song với mặt đáy, cắt các cạnh SA_{1}; SA_{2} …SA_{n}$ tại $A’_{1};A’_{2};…;A’_{n}$
Hình hợp bởi thiết diện và 2 đa giác $A_{1}A_{2}…A_{n}; A’_{1}A’_{2}…A’_{n}$ và $A_{1}A_{2}A’_{2}A’_{1}; A_{2}A_{3}A’_{3}A’_{2}; …$ gọi là hình chóp cụt
upload_2021-9-2_20-3-46-png.183169

Tính chất :

  • Hai đáy là hai đa giác có cạnh tương ứng song song và tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau
  • Các mặt bên là những hình thang
  • Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại 1 điểm
V) Phép chiếu song song
1) Định nghĩa

Trong không gian cho (P) và đường thẳng a cắt mp (P)
Với mỗi điểm M trong không gian, Vẽ đường thẳng qua M và song song hoặc trùng với a. Đường thẳng này cắt (P) tại M’
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M’ của mp(P) như trên gọi là phép chiếu song song lên mp (P) theo phương a
upload_2021-9-2_20-5-2-png.183171

Khi đó
: mp(P) gọi là mặt phẳng chiếu, đường thẳng a gọi là phương chiếu, điểm M’ gọi là hình chiếu song song của M qua phép chiếu
2) Tính chất
a) Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng
b) Hình chiếu song song của 2 đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau
c) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số của 2 đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song
 

Attachments

  • upload_2021-9-2_20-1-34.png
    upload_2021-9-2_20-1-34.png
    23 KB · Đọc: 409
  • upload_2021-9-2_20-2-34.png
    upload_2021-9-2_20-2-34.png
    21 KB · Đọc: 413
  • upload_2021-9-2_20-3-46.png
    upload_2021-9-2_20-3-46.png
    23.8 KB · Đọc: 409
  • upload_2021-9-2_20-5-2.png
    upload_2021-9-2_20-5-2.png
    9.3 KB · Đọc: 411

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc.
I) Sự đồng phẳng của các vectơ. Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng
1) Định nghĩa :
Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với 1 mặt phẳng
2) Điều kiện
Cho 3 vectơ $\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{c}$; trong đó $\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{b}$ luôn không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để 3 vectơ $\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng là có các số m, n sao cho $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b}$. Hơn nữa, các số m,n là duy nhất
Ngoài ra: Nếu Cho 3 vectơ $\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ $\overrightarrow{d}$; ta tìm được các số $m,n,p$ sao cho $\overrightarrow{d}=m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c}$. (Các số $m,n,p$ là duy nhất)
II) Hai đường thẳng vuông góc
1) Góc giữa 2 đường thẳng

Cho 2 đường thẳng $\Delta 1$; $\Delta 2$ bất kì trong không gian. Từ điểm O bất kì, ta vẽ 2 đường thẳng $\Delta’ 1$; $\Delta’ 2$ lần lượt song song với $\Delta 1$; $\Delta 2$
Khi đó : Góc giữa 2 đường thẳng $\Delta 1$ và $\Delta 2$ là góc giữa 2 đường thẳng $\Delta’ 1$ và $\Delta’ 2$ cùng đi qua 1 điểm và lần lượt song song ( hoặc trùng) với $\Delta 1$; $\Delta 2$
upload_2021-9-3_20-57-14-png.183309

Lưu ý:

  • 1) Để xác định góc giữa 2 đường, ta có thể lấy điểm O thuộc 1 trong 2 đường thẳng đó.
  • 2) Góc giữa 2 đường thẳng không vượt quá $90^o$
  • 3) Tính góc giữa 2 đường thẳng thông qua vectơ chỉ phương ( $= \alpha$) .Khi đó góc giữa 2 đường thẳng bằng $\alpha$ nếu $\alpha \leq 90^o$ hoặc bằng $180^o - \alpha$ nếu $\alpha \geq 90^o$
  • 4) Công thức tính cos góc giữa 2 vectơ $\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{b}$ $\cos(\overrightarrow{a}; \overrightarrow{b} )= \dfrac{\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}}{ |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$
2) Hai đường thẳng vuông góc khi góc giữa 2 đường thẳng bằng $90^o$ hay tích 2 vectơ chỉ phương bằng 0
III) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1) Định nghĩa
Một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó
Kí hiệu: $a \perp (P)$ hoặc $(P) \perp a$
2) Điều kiện : Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng thuộc mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P)
3) Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
a) Mặt phẳng nào vuông góc với một trong 2 mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại
$\left.\begin{matrix} a//b\\ (P) \perp a \end{matrix}\right| \Rightarrow (P) \perp b$
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau
$\left.\begin{matrix}a \perp(P)\\ b \perp(P)\\ a \not\equiv b \end{matrix}\right|\Rightarrow a //b$
c) Đường thẳng nào vuông góc với một trong 2 mp song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại
$\left.\begin{matrix}(P) //(Q)\\ a \perp(P)\end{matrix}\right|\Rightarrow a \perp (Q)$
d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 đường thẳng thì song song với nhau
$\left.\begin{matrix}(P) \perp a\\ (Q) \perp a\\ (P)\not\equiv (Q)\end{matrix}\right|\Rightarrow (P) //(Q)$
4) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
  • Nếu $a \perp (P)$ thì góc giữa đường thẳng a và mp(P) bằng $90^o$
  • Nếu a không vuông góc với (P), thì góc giữa đường thẳng a và mp(P) là góc giữa đường thẳng $a$ và đường thẳng $a’$ là hình chiếu của $a$ trên $(P)$
upload_2021-9-3_20-58-42-png.183310


5) Góc giữa 2 mặt phẳng
1) Định nghĩa :
Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó
2) Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng
Khi 2 mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến $\Delta$, để tính góc giữa chúng ta chỉ việc xét một mp(R) cắt (P) và (Q) lần lượt theo các giao tuyến p và q. Lúc đó góc cần tính là góc giữa p và q
upload_2021-9-3_22-33-8-png.183353

Ngoài ra ta có thể sử dụng công thức tính diện tích hình chiếu để tính góc
Gọi S là diện tích của đa giác $(H)$ trong mp $(P)$ và $S’$ là diện tích của hình chiếu $(H’)$ trong mp $(Q)$ ta có: $S’ = S.\cos\alpha$ ( Trong đó $\alpha$ là góc giữa 2 mp)
3) Hai mặt phẳng vuông góc
a) Định nghĩa:
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mp bằng $90^o$
b) Điều kiện: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mp khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau
 

Attachments

  • upload_2021-9-3_20-57-14.png
    upload_2021-9-3_20-57-14.png
    10.2 KB · Đọc: 405
  • upload_2021-9-3_20-58-42.png
    upload_2021-9-3_20-58-42.png
    18.8 KB · Đọc: 401
  • upload_2021-9-3_22-33-8.png
    upload_2021-9-3_22-33-8.png
    19.4 KB · Đọc: 396
Last edited:

chi254

Mod Toán
Cu li diễn đàn
12 Tháng sáu 2015
2,737
2
4,258
664
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
III) Khoảng cách
1) Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, đến 1 mặt phẳng
a) Định nghĩa:
Khoảng cách từ điểm M đến mp(P) ( hoặc đến đường thẳng $\Delta$ ) là khoảng cách 2 điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của M lên (P) ( hoặc lên đường thẳng $\delta$)
upload_2021-9-3_22-22-21-png.183341

b) Kí hiệu $d( M; (P)) ; d(M;\Delta)$
2) Khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song, giữa 2 mp song song
  • Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ 1 điểm nào đó thuộc a đến mp(P)
  • upload_2021-9-3_22-23-33-png.183342

  • Khoảng cách giữa 2 mp song song là khoảng cách từ 1 điểm bất kì của mặt phẳng này đến mp kia
  • upload_2021-9-3_22-25-23-png.183349
3) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó
upload_2021-9-3_22-28-29-png.183351

Nhận xét:
  • Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là khoảng cách từ một đường thẳng đến mp song song với nó và chứa đường thẳng còn lại
  • Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là khoảng cách giữa 2 mp song song lần lượt chứa 2 đường thẳng đó
Bài tập :
 

Attachments

  • upload_2021-9-3_22-22-21.png
    upload_2021-9-3_22-22-21.png
    11.4 KB · Đọc: 397
  • upload_2021-9-3_22-23-33.png
    upload_2021-9-3_22-23-33.png
    9.9 KB · Đọc: 397
  • upload_2021-9-3_22-25-23.png
    upload_2021-9-3_22-25-23.png
    10.4 KB · Đọc: 395
  • upload_2021-9-3_22-28-29.png
    upload_2021-9-3_22-28-29.png
    6.8 KB · Đọc: 396
  • [ Cộng đồng học sinh lớp 11 ] KĨ THUẬT ĐỈNH CAO XỬ LÍ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH .pdf
    762.3 KB · Đọc: 2
Last edited:
Top Bottom