Toán 9 Tồn Tại Không? Các Số Dương a,b,c Khác Nhau Thỏa Mãn Đẳng Thức:

[Alpha Betscape]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex](\sqrt{a}-\sqrt{b})^{5}+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{5}+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^{5}=0[/tex]
Các bạn giúp mình với. Mình xin cảm ơn :>

 

[iceghost]

Đặt $\sqrt{a} = m$, $\sqrt{b} = n$, $\sqrt{c} = p$ thì nếu tồn tại $m, n, p$ dương ta sẽ tìm được $a, b, c$ dương tương ứng
Đặt tiếp $x = m - n$, $y = n - p$, $z = p - m$. Khi đó $x + y + z = 0$
Suy ra $(x + y)^5 = -z^5$
Suy ra $x^5 + 5x^4y + 10 x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5 xy^4 + y^5 = -z^5$
Suy ra $x^5 + y^5 + z^5 = -5xy(x^3 + y^3 + 2x^2y + 2xy^2)$
$= -5xy[(x+y)^3 - xy(x+y)]$
$= -5xy(-z^3 + xyz)$
$= -5xyz(xy - z^2)$
Do $a, b, c$ khác nhau nên $m, n, p$ khác nhau, dẫn tới $x, y, z$ khác 0.
Do đó để $x^5 + y^5 + z^5 = 0$ thì $xy = z^2 = (x+y)^2$
Tương đương $(x + \dfrac12 y)^2 + \dfrac{3}4 y^2 = 0$ hay $x = y = z = 0$ (loại)
Vậy không có $a, b, c$ thỏa đề.