1,Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
Giải:
1,
Vì [TEX]a+b+c=1[/TEX] BDT đã cho tương đương với:
[TEX](\frac{a^2}{b}-2a+b)+(\frac{b^2}{c}-2b+c)+(\frac{c^2}{a}-2c+a)\geq 3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2[/TEX]
[TEX]<=>\frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(c-a)^2}{a}\geq (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2[/TEX]
[TEX]<=>(\frac{1}{b}-1)(a-b)^2+(\frac{1}{c}-1)(b-c)^2+(\frac{1}{a}-1)(c-a)^2\geq 0[/TEX]
[TEX]<=>\frac{c+a}{b}(a-b)^2+\frac{a+b}{c}(b-c)^2+\frac{b+c}{a}(a-b)^2\geq 0[/TEX]
BDT này đúng suy ra dpcm.
2,Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh:
[TEX](\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}})-\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\leq 6[/TEX]
Giải:
Đặt: [TEX]x=\sqrt[3]{a}, y=\sqrt[3]{b}, z=\sqrt[3]{c}[/TEX]
BDT đã cho tương đương với:
[TEX](x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\leq 6[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+y+z)(xy+yz+zx)-(x^3+y^3+z^3)\leq 6xyz[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\geq x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)[/TEX]
BDT này đúng suy ra dpcm.
5,Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]
Giải:
Bài này có mấy cách lận.
Nhưng có lẽ cách này hay nhất.
Nhân cả hai vế BDT với [TEX]a+b+c[/TEX] ta được:
[TEX]a^3+b^3+c^3+(a+b+c)(2abc+1) \geq6abc+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2[/TEX]
Ta có:
[TEX]a^3+b^3+c^3+3abc\geq a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2[/TEX]
và [TEX](a+b+c)(2abc+1)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc[/TEX]
Cộng theo vế 2 BDT trên ta có dpcm.
3,Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b}\geq 2[/TEX]
4,Cho a,b,c dương và [TEX]abc=1[/TEX]. Chung minh:
[TEX]\sqrt{\frac{a+b}{b+1}}+\sqrt{\frac{b+c}{c+1}}+ \sqrt{\frac{c+a}{a+1}}\geq 3[/TEX]
Bài 3 hình như trong TTT
Bài 4 đề 30/4 có trong THTT 12\2008 và ST
