Cho A(1.4).Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt Ox,Oy lần lượt tại M,N sao cho [TEX]\frac{1}{OM^2}+\frac{1}{ON^2} [/TEX]min
Giả sử đường thẳng đi qua $A(1; 4)$ là $(d): y = ax - a+ 4$ (a khác 0) $(d)$ [TEX]\cap [/TEX] $Ox = M(\dfrac{a-4}{a} ; 0) $ \Rightarrow $\dfrac{1}{OM^2} = \dfrac{a^2}{(a-4)^2}$ $(d)$ [TEX]\cap[/TEX] $Oy = N (0; 4-a)$ \Rightarrow $\dfrac{1}{ON^2} = \dfrac{1}{(a-4)^2}$ Do đó: $\dfrac{1}{OM^2} + \dfrac{1}{ON^2} = \dfrac{a^2 + 1 }{(a-4)^2}$ Giả sử X là một giá trị của $\dfrac{a^2 + 1 }{(a-4)^2}$ \Rightarrow Phương trình $ \dfrac{a^2 + 1 }{(a-4)^2} = X$ có nghiệm a khác - 4 và 0 \Rightarrow $(X-1)a^2 - 8Xa + 16X -1 = 0$ Có nghiệm a khác -4 và 0 \Rightarrow $\Delta ' $ \geq 0 \Leftrightarrow $16X^2 - (X-1)(16X -1)$ \geq 0 \Leftrightarrow $17X - 1$ \geq 0 \Leftrightarrow X \geq $\dfrac{1}{17}$ \Leftrightarrow $a = \dfrac{-1}{4}$ (thỏa mãn) Vậy GTNN của $\dfrac{1}{OM^2} + \dfrac{1}{ON^2}$ là $\dfrac{1}{17}$ khi phương trình (d) cần tìm là $(d): y = \dfrac{-1}{4}x + \dfrac{17}{4}$