Toán12] Viết phương trình đường thẳng

[lenhuquynh95]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho A(1.4).Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt Ox,Oy lần lượt tại M,N sao cho
[TEX]\frac{1}{OM^2}+\frac{1}{ON^2} [/TEX]min

 

[th1104]

Giả sử đường thẳng đi qua $A(1; 4)$ là $(d): y = ax - a+ 4$ (a khác 0)

$(d)$ [TEX]\cap [/TEX] $Ox = M(\dfrac{a-4}{a} ; 0) $

\Rightarrow $\dfrac{1}{OM^2} = \dfrac{a^2}{(a-4)^2}$

$(d)$ [TEX]\cap[/TEX] $Oy = N (0; 4-a)$

\Rightarrow $\dfrac{1}{ON^2} = \dfrac{1}{(a-4)^2}$

Do đó:

$\dfrac{1}{OM^2} + \dfrac{1}{ON^2} = \dfrac{a^2 + 1 }{(a-4)^2}$

Giả sử X là một giá trị của $\dfrac{a^2 + 1 }{(a-4)^2}$

\Rightarrow Phương trình $ \dfrac{a^2 + 1 }{(a-4)^2} = X$ có nghiệm a khác - 4 và 0

\Rightarrow $(X-1)a^2 - 8Xa + 16X -1 = 0$ Có nghiệm a khác -4 và 0

\Rightarrow $\Delta ' $ \geq 0 \Leftrightarrow $16X^2 - (X-1)(16X -1)$ \geq 0

\Leftrightarrow $17X - 1$ \geq 0 \Leftrightarrow X \geq $\dfrac{1}{17}$

\Leftrightarrow $a = \dfrac{-1}{4}$ (thỏa mãn)

Vậy GTNN của $\dfrac{1}{OM^2} + \dfrac{1}{ON^2}$ là $\dfrac{1}{17}$ khi phương trình (d) cần tìm là $(d): y = \dfrac{-1}{4}x + \dfrac{17}{4}$