[Toán12]Cho các bạn sắp thi học sinh giỏi 12

[nguyenminh44]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Hi vọng topic này sẽ phần nào giúp các bạn chuẩn bị tốt cho kì thi. Hoặc nếu các bài toán ở đây chưa đến trình độ học sinh giỏi thì cũng là một dịp để các bạn ôn lại kiến thức trên lớp.

Mình xin post 2 bài khởi động đơn giản

1.Cho [TEX]f(x) [/TEX] là một hàm liên tục trên [TEX][0;1][/TEX] và chỉ nhận giá trị trên đoạn ấy(tập giá trị) thỏa mãn điều kiện

[TEX]|f(x_1)-f(x_2)|< |x_1-x_2| [/TEX], [TEX]\forall x_1, x_2 [/TEX] thuộc [0;1]

Chứng minh rằng phương trình [TEX]f(x)=x[/TEX] có nghiệm duy nhất trên [0;1]



2. Cho các số thực [TEX]a_0; a_1; a_2;....;a_{2008}[/TEX]thỏa mãn

[TEX]a_0[/TEX] khác 0
và [TEX]a_0+ \frac{a_1}{2} +\frac{a_2}{3}+....\frac{a_{2008}}{2009}=0[/TEX]

Chứng minh rằng phương trình [TEX]a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{2008}x^{2008}=0[/TEX] có nghiệm trên đoan [0;1]

 

[daihoacuc]

Oài, lại tên này!!!

Bài 1. [TEX]f(x)=x\Leftrightarrow g(x)=f(x)-x=0[/TEX]

Có [tex]g(0)=f(0)-0=f(0)\geq 0[/tex] (do tập giá trị của f)
[tex]g(1)=f(1)-1\leq1-1=0 [/tex] (cũng do tập giá trị của f)

=> g(0) .g(1) \leq0

f(x) liên tục nên g(x) cũng liên tục. => pt g(x)=0 có nghiệm trong khoảng [0;1]

hay pt f(x)=x có nghiệm trong [0;1]


Bài hai chốc post nốt

 

[nguyenminh44]

Hay lắm, post tiếp đi ông

Mà bài 1 còn thiếu phần chứng minh nghiệm duy nhất kìa

Hix, dù sao thì cũng cảm ơn lão !!!

 

[daihoacuc]

Xin lỗi, không để ý nên đến hôm nay mới trả bài được đây

Tiếp bài 1:
Giả sử phương trình có 2 nghiệm [TEX]x_1; x_2 [/TEX]. Ta có

[TEX]f(x_1)=x_1[/TEX] và [TEX]f(x_2)=x_2[/TEX].

Vậy [TEX]|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1-x_2|[/TEX]. Nhưng theo giả thiết [TEX]|f(x_1)-f(x_2)|<|x_1-x_2| \forall x_1; x_2[/TEX].

Vậy giả sử trên là sai, phương trình có duy nhất nghiệm

Bài 2:

Xét đa thức [TEX]f(x)=a_0x+\frac{a_1}{2}x^2 +\frac{a_2}{3}x^3+....+\frac{a_{2008}}{2009}x^{2009}[/TEX] trên [TEX][0;1][/TEX]

Ta có [TEX]f(0)=0[/TEX]

[TEX]f(1)=0[/TEX] theo giả thiết

Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và f(0)=f(1) nên f'(x) phải có nghiệm trên đoạn [0;1] (Cái này dùng Lagrang là tốt nhất)
Đạo hàm => đpcm

Còn bài nào hay thì post tiếp nhé

 

[giangln.thanglong11a6]

Cho n lẻ >2. CMR PT sau có ba nghiệm phân biệt:

[TEX]\frac{1}{n}C_n^1{x}^{n}+\frac{1}{n-1}C_n^2{x}^{n-1}+...+\frac{1}{3}C_n^{n-2}{x}^{3}-\sqrt{5}x=0[/TEX]

 

[nguyenminh44]

Cho n lẻ >2. CMR PT sau có ba nghiệm phân biệt:

[TEX]\frac{1}{n}C_n^1{x}^{n}+\frac{1}{n-1}C_n^2{x}^{n-1}+...+\frac{1}{3}C_n^{n-2}{x}^{3}-\sqrt{5}x=0[/TEX]

Đặt vế trái =f(x)

Nhận xét: Do n lẻ nên [TEX]\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty[/TEX]

[TEX]\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty[/TEX]

[TEX]f'(x)=C^1_nx^{n-1} + C^2_nx^{n-2}+....+C_n^{n-2}x^2-\sqrt{5}[/TEX]


f'(x) là một đa thức bậc chẵn nên giới hạn tại [TEX]\infty[/TEX] bằng [TEX]+\infty[/TEX]

Mặt khác f'(0) <0 do đó f'(x) có ít nhất 2 nghiệm trong đó 1 nghiệm dương và một nghiệm âm.

Tiếp tục tính đạo hàm bậc 2

[TEX]f'(x)=(x+1)^n-x^n-nx-1-\sqrt{5}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f"(x)=n((x+1)^{n-1} -x^{n-1}-1)[/TEX]

f"(x) đồng biến nên có nghiệm duy nhất (x=0)

=> f'(x) có đúng hai nghiệm

Lập bảng biến thiên với chú ý f(0)=0 suy ra phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt

Cảm ơn gợi ý của ctsp nhé

 

[ctsp_a1k40sp]

Đặt vế trái =f(x)

Nhận xét: Do n lẻ nên [TEX]\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty[/TEX]

[TEX]\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty[/TEX]

[TEX]f'(x)=C^1_nx^{n-1} + C^2_nx^{n-2}+....+C_n^{n-2}x^2-\sqrt{5}[/TEX]


F'(x) là một đa thức bậc chẵn nên giới hạn tại [TEX]\infty[/TEX] bằng [TEX]+\infty[/TEX]

Mặt khác f'(0) <0 do đó f'(x) có ít nhất 2 nghiệm trong đó 1 nghiệm dương và một nghiệm âm.

Lập bảng biến thiên với chú ý f(0)=0 suy ra điều phải chứng minh

Bài này chỉ có thể chứng minh được có ít nhất 3 nghiệm phân biệt, còn có phải có đúng 3 nghiệm phân biệt không thì ...chịu .

Bài này em mới chỉ ra có nhiều nhất 3 nghiệm
bằng cách lấy [TEX]f"(x)[/TEX] ra
pt [TEX]f"(x)[/TEX]=0 có 1 nghiệm duy nhất

 

[quang1234554321]

Tớ xin góp vui mấy bài này
cho hàm số f(x) = [tex]\frac{4^x}{4^x+2}[/tex]
Tính tổng : S = [tex]f(\frac{1}{1999}) + f(\frac{2}{1999}) + ..........+ f(\frac{1998}{1999})[/tex]

 

[quang1234554321]

cho hàm số : f(x)=[tex]\frac{a^x + a^ {-x}}{2}[/tex]
a) Tìm GTLN của hàm số
b) f(x) có phải là hàm tuần hoàn ko?

 

[nguyenminh44]

Tớ xin góp vui mấy bài này
cho hàm số f(x) = [tex]\frac{4^x}{4^x+2}[/tex]
Tính tổng : S = [tex]f(\frac{1}{1999}) + f(\frac{2}{1999}) + ..........+ f(\frac{1998}{1999})[/tex]

f(x)+f(1-x)=1. Ok?.................(lại 50 kí tự).................

Kết quả S=999

 

[quang1234554321]

nguyenminh44 làm đúng rồi
còn bài kia thì sao??????????

 

[giangln.thanglong11a6]

cho hàm số : f(x)=[tex]\frac{a^x + a^ {-x}}{2}[/tex]
a) Tìm GTLN của hàm số
b) f(x) có phải là hàm tuần hoàn ko?

Hiển nhiên a> 0 và [TEX]a\neq 1[/TEX].
Nếu 0<a<1 thì [TEX]a^x > 0[/TEX] và [TEX]\lim_{x\rightarrow -\infty}(a^{-x})=+\infty[/TEX] nên hàm số không có GTLN.
Nếu a>1 thì [TEX]a^{-x}>0[/TEX] và [TEX]\lim_{x\rightarrow +\infty}(a^{x})=+\infty[/TEX] nên hàm số cũng không có GTLN.
Vậy hàm số không có GTLN.

Ta sẽ chứng minh hàm không tuần hoàn.
Thật vậy giả sử nó tuần hoàn với chu kì T>0. Khi đó [TEX]f(x+T)=f(x) \forall x[/TEX]
Nói riêng khi x=0 ta có:
[TEX]f(T)=f(0) \Leftrightarrow \frac{a^T+a^{-T}}{2}=1[/TEX][TEX]\Leftrightarrow a^T+a^{-T}=2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^T+\frac{1}{a^T} =2 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^T=1[/TEX] (vì [TEX]a^x >0[/TEX])
[TEX]\Leftrightarrow T=0.[/TEX]
Mâu thuẫn với ĐK T>0. Vậy f(x) không tuần hoàn.

Nói riêng với a=e ta có hàm coshypebolic. Hàm này trong máy tính CASIO-500MS các bạn có thể bấm được bằng tổ hợp phím hyp+cos(trên màn hình hiên ra chữ cosh). Hàm này có nhiều tính chất khá thú vị.

 

[quang1234554321]

làm tốt lắm , tiếp tục nhé
Giải PT : [tex]\sqrt[3]{81x-8} = x^3-2x^2 + \frac{4x}{3}-2[/tex]

 

[boybuidoi147]

làm tốt lắm , tiếp tục nhé
Giải PT : [tex]\sqrt[3]{81x-8} = x^3-2x^2 + \frac{4x}{3}-2[/tex]

x = 0
.........................

 

[quang1234554321]

ku boybuidoi147 này chỉ được cái đoán mò, chú mày đoán đúng 1 nghiệm rồi đấy, còn 2 nghiệm nữa cơ, chú mày chưa đủ trình làm đâu, các mem toán 12 đâu vào giải đi

 

[boybuidoi147]

cái này em bấm máy tính nó ra có 1 nghiệm chớ có biết làm đâu

 

[boybuidoi147]

thế có ai biết dùng chức năng solve của máy tính casio fx 570MS mà ra nhiều nghiệm không nhỉ, ai biết chỉ em với

 

[quang1234554321]

anh em toán 12 đâu hết rồi, vào giải đi, bài này hay đấy. nếu ko giải đc thì tớ post lên cho

 

[nguyenminh44]

làm tốt lắm , tiếp tục nhé
Giải PT : [tex]\sqrt[3]{81x-8} = x^3-2x^2 + \frac{4x}{3}-2[/tex]

Đây là phương trình thuận nghịch thì phải.(lâu rồi nên cũng chẳng nhớ tên nữa)


[TEX]PT \Leftrightarrow \sqrt[3]{3x-\frac{8}{27}} = \frac{1}{3}(x-\frac{2}{3})^3 -\frac{46}{81}[/TEX]

Đặt [TEX]3x -\frac{8}{27} = (y-\frac{2}{3})^3 \Leftrightarrow x= \frac{1}{3}(y-\frac{2}{3})^3 +\frac{8}{81}[/TEX]

Ta có hệ
[TEX]x= \frac{1}{3}(y-\frac{2}{3})^3 +\frac{8}{81}[/TEX]

[TEX]y-\frac{2}{3}= \frac{1}{3}(x-\frac{2}{3})^3 -\frac{46}{81}[/TEX]

Hệ này các bạn lớp 10 cũng giải được đúng k? Đến đây thôi nhé!

 

[ctsp_a1k40sp]

Đây là phương trình thuận nghịch thì phải.(lâu rồi nên cũng chẳng nhớ tên nữa)


[TEX]PT \Leftrightarrow \sqrt[3]{3x-\frac{8}{27}} = \frac{1}{3}(x-\frac{2}{3})^3 -\frac{46}{81}[/TEX]

Đặt [TEX]3x -\frac{8}{27} = (y-\frac{2}{3})^3 \Leftrightarrow x= \frac{1}{3}(y-\frac{2}{3})^3 +\frac{8}{81}[/TEX]

Ta có hệ
[TEX]x= \frac{1}{3}(y-\frac{2}{3})^3 +\frac{8}{81}[/TEX]

[TEX]y-\frac{2}{3}= \frac{1}{3}(x-\frac{2}{3})^3 -\frac{46}{81}[/TEX]

Hệ này các bạn lớp 10 cũng giải được đúng k? Đến đây thôi nhé!

[TEX]x-\frac{2}{3}= \frac{1}{3}(y-\frac{2}{3})^3 -\frac{46}{81}[/TEX]

[TEX]y-\frac{2}{3}= \frac{1}{3}(x-\frac{2}{3})^3 -\frac{46}{81}[/TEX]
Phải viết thế này thì mới dễ nhìn anh ạ , chứ hệ thế kia tổng quát thì chắc hơi khó giải
Post thêm bài nữa ko lại mang tiếng spam

giải pt:

[TEX]x^3-3x^2+3x-16\sqrt[3]{x}-9=0[/TEX]