[Toan11] - Quy nạp - Chém đi mà

[tdhuanng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh :

[TEX](1 + \frac{1}{n})^n <3[/TEX]
Với n thuộc N*

Hướng dẫn kĩ cho mình nhé!

 

[buimaihuong]

Chứng minh :


Với n thuộc N*
[TEX](1+ \frac{1}{n})^{n} < 3[/TEX]

Hướng dẫn kĩ cho mình nhé!

với n = 1 ta có:

[TEX]vt = (1 + 1)^{1} = 2 < 3 [/TEX] (đúng)

giả sử đúng với n = k ta có:

[TEX](1+ \frac{1}{k})^{k} < 3[/TEX] \Rightarrow [TEX](k+1)^{k} < 3k^{k}[/TEX]

\Rightarrow [TEX](k+1)^{k+1} < 3k^{k+1}[/TEX]

ta cần chứng minh md đúng với n = k+1 nghĩa là:

[TEX](1+\frac{1}{k+1})^{k+1} < 3[/TEX]

thật vậy

[TEX]vt = (\frac{k+2}{k+1})^{k+1} = ... [/TEX]

 

[niemkieuloveahbu]

với n = 1 ta có:

[TEX]vt = (1 + 1)^{1} = 2 < 3 [/TEX] (đúng)

giả sử đúng với n = k ta có:

[TEX](1+ \frac{1}{k})^{k} < 3[/TEX] \Rightarrow [TEX](k+1)^{k} < 3k^{k}[/TEX]

\Rightarrow [TEX](k+1)^{k+1} < 3k^{k+1}[/TEX]

ta cần chứng minh md đúng với n = k+1 nghĩa là:

[TEX](1+\frac{1}{k+1})^{k+1} < 3[/TEX]

thật vậy

[TEX]vt = (\frac{k+2}{k+1})^{k+1} = ... [/TEX]

Đã tới đây thì làm tiếp đi cậu, :-?

 

[buimaihuong]

Đã tới đây thì làm tiếp đi cậu,

cái này tớ chém mà, đang nghĩ nhưng vì bạn ý post ở phần quy nạp lên làm quy nạp



xét hàm số:

[TEX]f(n) = n.ln(1+\frac{1}{n}) [/TEX] với [TEX]n \geq 1[/TEX]

[TEX]f'(n) = ln(1+\frac{1}{n}) + n-1 > 0[/TEX]

\Rightarrow [TEX]f(n)[/TEX] đồng biến với mọi [TEX]n \geq 1[/TEX]

vậy [TEX]f(n) \leq f(n+1)[/TEX]

\Rightarrow [TEX](1+\frac{1}{n})^{n} \leq (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}[/TEX]

dãy [TEX]u_{n}[/TEX] tăng với [TEX]u_n = (1+\frac{1}{n})^{n}[/TEX]

\Rightarrow [TEX]u_n \leq \lim_{x\to + \alpha } u_{n} = 3[/TEX]

 

[tdhuanng]

cái này tớ chém mà, đang nghĩ nhưng vì bạn ý post ở phần quy nạp lên làm quy nạp



xét hàm số:

[TEX]f(n) = n.ln(1+\frac{1}{n}) [/TEX] với [TEX]n \geq 1[/TEX]

[TEX]f'(n) = ln(1+\frac{1}{n}) + n-1 > 0[/TEX]

\Rightarrow [TEX]f(n)[/TEX] đồng biến với mọi [TEX]n \geq 1[/TEX]

vậy [TEX]f(n) \leq f(n+1)[/TEX]

\Rightarrow [TEX](1+\frac{1}{n})^{n} \leq (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}[/TEX]

dãy [TEX]u_{n}[/TEX] tăng với [TEX]u_n = (1+\frac{1}{n})^{n}[/TEX]

\Rightarrow [TEX]u_n \leq \lim_{x\to + \alpha } u_{n} = 3[/TEX]

Nhưng cô mình bảo làm quy nạp bạn ạk.......................cô nói không dùng cách chứng minh bình thường, hix.......siêu nhân......