tính [1]^[2]+[2]^[2]+...+[n]^[2]
giải 1 cách chi tiết không dùng quy nạp toán để cm cho kêt quả đã có sẵn[TEX][/TEX]
Để làm bài toán trên không dung quy nạp, trước hết ta đã biết
1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2
Ta áp dụng: [TEX](x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\[/TEX] ta có:
[TEX](n + 1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1\[/TEX]
[TEX]n^3 = (n - 1)^3 + 3(n - 1)^2 + 3(n - 1) + 1\[/TEX]
.............................
[TEX]3^3 = 2^3 + 3.2^2 + 3.2 + 1\[/TEX]
[TEX]2^3 = 1^3 + 3.1^2 + 3.1 + 1\[/TEX]
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên, và để ý đến các số hạng ở 2 vế trùng nhau ta có:
[TEX](n + 1)^3 = 1^3 + 3(1^2 + 2^2 + ... + n^2 ) + 3(1 + 2 + ... + n) + n\[/TEX]
[TEX] \Rightarrow 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{{(n + 1)^3 - 1^3 - 3(1 + 2 + ... + n) - n}}{3}\[/TEX]
Suy ra:
[TEX]1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\[/TEX] (đpcm)

>-

>-

>-