Toán

[rua_it]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]\sum \frac{x}{1+x^2} \leq \frac{3}{2} \leq\sum \frac{1}{x+1}[/TEX]

13. [TEX]\forall x,y \in R[/TEX], CM:
[TEX] \frac{-1}{4} \leq \frac{(x^2-y^2)(1-x^2y^2)}{(1+x^2)^2 (1+y^2)^2} \leq \frac{1}{4} [/TEX]

$$\frac{(x^2-y^2)(1-x^2y^2)}{(1+x^2)^2 (1+y^2)^2}$$

$$=\frac{x^2-x^4y^2-y^2+x^2y^4}{(1+x^2)^2 (1+y^2)^2}$$

$$=\frac{(1+y^2)^2.x^2}{(1+x^2)^2 (1+y^2)^2}-\frac{(1+x^2)^2.y^2}{(1+x^2)^2 (1+y^2)^2}$$

$$=\frac{x^2}{(x^2+1)^2}-\frac{y^2}{(y^2+1)^2}$$

[tex]Dat: \left{\begin{x=tana}\\{y=tanb}[/tex]

$$\Rightarrow \frac{tan^2a}{(tan^2a+1)^2}-\frac{tan^2b}{(tan^2b+1)^2}$$

$$=cos^4a.tan^2a-cos^4b.tan^2b=cos^4a.\frac{sin^2a}{cos^2a}-cos^4b.\frac{sin^2b}{cos^2b}$$

$$=cos^2a.sin^2a-cos^2b.sin^2b$$

$$=\frac{sin^22a-sin^22b}{4}$$

$$\Rightarrow bất đẳng thức cần chứng minh [tex]\Leftrightarrow |\frac{sin^22a-sin^22b}{4}| \leq \frac{1}{4}$$

Thật vậy, ta luôn cóa:

$$\frac{1}{4} \geq\frac{sin^22a}{4}$$

$$\frac{1}{4} \geq\frac{sin^22b}{4}$$

Kết hợp ta cóa đpcm.

 

[rua_it]

chắc chỗ đoá nhầm.đoán sao hok làm.hay đấy đúng là dân toán.bài nè hok giải dc hỏi nè:
ho a,b,x,y thỏa ax-by= [TEX]\sqrt{3}[/TEX]
tìm min của [TEX]F= a^{2} + b^{2} + x^{2} + y^{2} +bx+ay[/TEX]
bài này ứ giải dc mà ((

$$a^2 + b^2 + x^2 + y^2 + bx + ay$$

$$=x^2+bx+\frac{b^2}{4}+y^2+ay+\frac{a^2}{4}+\frac{3.(a^2+b^2)}{4}$$

$$=(x+\frac{b}{2})^2+(y+\frac{a}{2})^2+\frac{3.(a^2+b^2)}{4}$$

[tex]Dat: \left{\begin{M(x,y)}\\{A=(-\frac{b}{2};-\frac{a}{2})}\\{(\Delta):ax-by=\sqrt{3}}[/tex]

$$AM-GM \rightarrow a^2 + b^2 + x^2 + y^2 + bx + ay \geq \frac{3}{a^2+b^2}+\frac{3.(a^2+b^2)}{4} \geq 3$$

ok.