Đáp án đề
1a) ĐKXĐ: $x \geqslant 0$ và $x \ne 9$
$A = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \dfrac{3x+9}{x-9}$
$= \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3) + 2\sqrt{x}(\sqrt{x}+3) - (3x+9)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$
$= \dfrac{3\sqrt{x} - 9}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$
$= \dfrac{3}{\sqrt{x}+3}$
b) $A = \dfrac{1}{3}$
$\iff \dfrac{3}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{1}{3}$
$\iff \sqrt{x} + 3 = 9$
$\iff \sqrt{x} = 6$
$\iff x = 36$ (N)
Vậy $x = 36$
2) $y = (m-1)x + m + 3$ ($m \ne 1$)
a) Đồ thị hàm số đi qua $M(1,-4)$, thay $x = 1$ và $y = -4$ vào phương trình ta được
$-4 = (m-1) \cdot 1 + m + 3$
$\iff -4 = 2m + 2$
$\iff m = -3$ (N)
Vậy $m = -3$
b) Để đồ thị hàm số song song đường thẳng $(d): y = -2x + 1$
thì $m-1 = -2$ và $m + 3 \ne 1$
$\iff m = -1$ và $m \ne -2$
$\iff m = -1$ (N)
Vậy $m = -1$
3) $x^2 - 2x + m - 3 = 0$
a) Thay $m = 1$ vào pt: $x^2 - 2x - 2 = 0$
$\Delta' = (-1)^2 - 1 \cdot (-2) = 3 > 0$
Pt có 2 nghiệm phân biệt: $x_1 = \dfrac{-(-1) + \sqrt{3}}{1} = 1 + \sqrt{3}$, $x_2 = \dfrac{-(-1) - \sqrt{3}}1 = 1 - \sqrt{3}$
b) $\Delta' = (-1)^2 - 1 \cdot (m-3) = -m + 4$
Để pt có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta' > 0 \iff -m+4 > 0 \iff m < 4$
Theo định lý Vi-ét: $x_1+x_2 = -\dfrac{(-2)}{1} = 2$ và $x_1x_2 = \dfrac{m-3}1 = m-3$
Suy ra $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 2^2 - 2(m-3) = -2m+10$
Ta có $x_1^3x_2 + x_1x_2^3 = -6$
$\iff x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) = -6$
$\iff (m-3)(-2m+10) = -6$
$\iff -2m^2 + 6m + 10m - 30 = -6$
$\iff -2m^2 + 16m - 24 = 0$
$\Delta' = 8^2 - (-2) \cdot (-24) = 16 > 0$
Pt có hai nghiệm $m$ phân biệt: $m_1 = \dfrac{-8 + \sqrt{16}}{-2} = 2$ (N), $m_2 = \dfrac{-8 - \sqrt{16}}{-2} = 6$ (L)
Vậy $m = 2$ thỏa đề
4) $P = \dfrac{x^2}{y + 3z} + \dfrac{y^2}{z + 3x} + \dfrac{z^2}{x + 3y}$
Áp dụng bđt Cô-si:
$\dfrac{x^2}{y+3z} + \dfrac{y+3z}{16} \geqslant 2 \sqrt{ \dfrac{x^2}{y+3z} \cdot \dfrac{y+3z}{16}} = \dfrac{x}{2}$
$\dfrac{y^2}{z+3x} + \dfrac{z+3x}{16} \geqslant 2 \sqrt{ \dfrac{y^2}{z+3x} \cdot \dfrac{z+3x}{16}} = \dfrac{y}{2}$
$\dfrac{z^2}{x+3y} + \dfrac{x+3y}{16} \geqslant 2 \sqrt{ \dfrac{z^2}{x+3y} \cdot \dfrac{x+3y}{16}} = \dfrac{z}{2}$
Cộng vế theo vế $\implies P + \dfrac{4x+4y+4z}{16} \geqslant \dfrac{x+y+z}2$
$\implies P + \dfrac{12}{16} \geqslant \dfrac{3}{2}$
$\implies P \geqslant \dfrac{3}{4}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $1$ tại $x = y = z = 1$
5)
a) Ta có: $\widehat{HCB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và $\widehat{HKB} = 90^\circ$ ($HK \perp AB$)
$\implies \widehat{HCB} + \widehat{HKB} = 180^\circ$
$\implies BCHK$ là tứ giác nội tiếp
b) Ta có: $\widehat{ACM} = \widehat{ABM}$ (góc nội tiếp chắn cung $AM$) và $\widehat{ACK} = \widehat{ABM}$ ($BCHK$ là tứ giác nội tiếp)
$\implies \widehat{ACM} = \widehat{ACK}$
c) Xét $\triangle{CAB}$, có $CO$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến
$\implies \triangle{CAB}$ cân tại $C$
Xét $\triangle{CAM}$ và $\triangle{CBE}$ có:
$CA = CB$ ($\triangle{CAB}$ cân tại $C$)
$\widehat{CAM} = \widehat{CBE}$ (góc nội tiếp chắn cung $CM$)
$AM = BE$ (gt)
$\implies \triangle{CAM} = \triangle{CBE}$ (c-g-c)
$\implies \widehat{ACM} = \widehat{BCE}$
$\implies \widehat{ACM} + \widehat{ACE} = \widehat{BCE} + \widehat{ACE}$
$\implies \widehat{MCE} = \widehat{ACB}$
Mà $\widehat{ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\implies \widehat{MCE} = 90^\circ$
$\implies \triangle{MCE}$ vuông tại $C$
Lại có $CM = CE$ ($\triangle{CAM} = \triangle{CBE}$)
$\implies \triangle{MCE}$ vuông cân tại $C$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
