Toán tổng hợp khó

[Nguyen Ngoc Lam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác vuông ABC đường cao AH ứng với cạnh huyền BC. Vẽ ở miền ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACFK ( AB>AC) . C/m rằng:
a/ D, A, F thẳng hàng
b/ BEKC là thang cân
c/ AH đi qua trung điểm của EK
d/ Các đường thẳng AH, DE, FK đồng qui

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Cho tam giác vuông ABC đường cao AH ứng với cạnh huyền BC. Vẽ ở miền ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACFK ( AB>AC) . C/m rằng:
a/ D, A, F thẳng hàng
b/ BEKC là thang cân
c/ AH đi qua trung điểm của EK
d/ Các đường thẳng AH, DE, FK đồng qui

a) Vì $ABDE,ACFK$ là hình vuông nên $\widehat{DAB}=\widehat{CAF}=45^{\circ}$.
$\Rightarrow \widehat{CAF}+\widehat{BAC}+\widehat{CAF}=180^{\circ}$.
Hay $\widehat{DAF}=180^{\circ}\Rightarrow D,A,F$ thẳng hàng.
b) $\widehat{BEC}=\widehat{ECK}=45^{\circ}\Rightarrow BE\parallel KC\Rightarrow BEKC$ là hình thang $(1)$.
$AE=AB;AC=AK\Rightarrow AE+AC=AB+AK\Rightarrow EC=BK \ (2)$.
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $BEKC$ là hình thang cân.
c) Gọi $I$ là trung điểm $EK$.
$\triangle ABC=\triangle AEK(c.g.c)$.
$\Rightarrow \widehat{IAK}=\widehat{IKA}=\widehat{ACH}$.
Mà $\widehat{ACH}+\widehat{CAH}=90^{\circ}$.
$\Rightarrow \widehat{IAK}+\widehat{CAH}=90^{\circ}$.
$\Rightarrow \widehat{IAK}+\widehat{KAC}+\widehat{CAH}=180^{\circ}$.
$\Rightarrow I,A,H$ thẳng hàng hay $AH$ đi qua trung điểm $EK$.
d) Gọi $G$ là giao điểm của $DE$ và $FK$.
Ta có $AEGK$ là hình chữ nhật, $I$ là trung điểm $EK$ nên $I$ cũng là trung điểm $AG$.
Suy ra $A, I, G$ thẳng hàng hay $AH$ đi qua $G$.
Mà $DE$ cắt $FK$ tại G suy ra đpcm.

 

[Thần Nông]

a) Kéo dài tia FK và tia DE cắt nhau tại O
vì FCAK và ABDE là hình vuông nên góc AKO = AEO = KAE = 90 . suy ra KAEO là hcn nên KOE =90
suy ra góc KFA + ADE =90
mà KFA + FAK =90 và ADE + EAD = 90 nên FAK + DAF =90
Suy ra góc FAD = 180 nên F, A, D thẳng hàng.
b) vì FCẠK là hình vuông nên AC = AK và AF vuông góc KC hay KC vuông góc FD.(1)
CMTT ta có AE =ED và EB vuông góc FD (2)
Từ (1) và (2) suy ra KC // EB nên là hình thàng và AC + AE = EC = AK + AB = KB nên là hình thang cân.
c) tam giác KOE = tam giác BAC ( c.g.c)
góc OEK = ACB.
AK // OE nên góc OEK = AKE mà góc AKE = KAI ( do I là trung điểm nên AI = KI , tam giác AIK cân tại I)
Suy ra góc KAI = góc ACB.
mà góc CAH + ACH = 90 nên góc KAI + CAH =90.
Suy ra CAH + ACH +KAC = 180 nên H, A, I thẳng hàng hay AH đi wa TĐ I của EK
d) Ta có KAEO là hcn , I là TĐ EK nên cũng là TĐ AO suy ra A, I, O thẳng hàng hay AH đi wa O. Mà FK cắt DE tại O( theo cách gọi) nên 3 đường thẳng này đồng quy

Nguồn : Google