toán tìm giá trị nhỏ nhất

[bongbottuyet]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.cho a,b,c là các số duong và a+b+c=6
tim GTNN của:
P=a^2/b+c + b^2/c+a + c^2/a+b

 

[congchuaanhsang]

Vì a,b,c dương nên b+c;c+a;a+b dương.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương $\frac{a^2}{b+c}$ và $\frac{b+c}{4}$ ta được:
$\frac{a^2}{b+c}$+$\frac{b+c}{4}$\geq$2\sqrt{ \frac{a^2}{b+c}. \frac{b+c}{4} }$
\Leftrightarrow$\frac{a^2}{b+c}$+$\frac{b+c}{4}$ \geq $2\sqrt{ \frac{a^2}{4} }$=a
Tương tự ta có:
$\frac{b^2}{c+a}$+$\frac{c+a}{4}$\geqb ; $\frac{c^2}{a+b}$+$\frac{a+b}{4}$\geqc
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta đk
$\frac{a^2}{b+c}$+$\frac{b^2}{c+a}$+$\frac{c^2}{a+b}$+$\frac{b+c}{4}$+$\frac{c+a}{4}$+$\frac{a+b}{4}$\geqa+b+c
\LeftrightarrowP+$\frac{a+b+c}{2}$\geqa+b+c
\LeftrightarrowP\geq$\frac{a+b+c}{2}$
Mà a+b+c=6\RightarrowP\geq$\frac{6}{2}$=3
Vậy $P_{min}$=3\Leftrightarrowa=b=c=2

 

[tranvanhung7997]

1.cho a,b,c là các số duong và $a + b + c = 6$
Tìm GTNN của: $P = \dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{b^2}{c + a} + \dfrac{c^2}{a + b}$

Áp dụng BĐT BĐT Cauchy - Schwazt:

$P = \dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{b^2}{c + a} + \dfrac{c^2}{a + b} \ge \dfrac{(a + b + c)^2}{2(a + b + c)} = \dfrac{a + b + c}{2} = 3$

Dấu "=" có <=> $a = b = c = 2$