Vì a,b,c dương nên b+c;c+a;a+b dương.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương $\frac{a^2}{b+c}$ và $\frac{b+c}{4}$ ta được:
$\frac{a^2}{b+c}$+$\frac{b+c}{4}$\geq$2\sqrt{ \frac{a^2}{b+c}. \frac{b+c}{4} }$
\Leftrightarrow$\frac{a^2}{b+c}$+$\frac{b+c}{4}$ \geq $2\sqrt{ \frac{a^2}{4} }$=a
Tương tự ta có:
$\frac{b^2}{c+a}$+$\frac{c+a}{4}$\geqb ; $\frac{c^2}{a+b}$+$\frac{a+b}{4}$\geqc
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta đk
$\frac{a^2}{b+c}$+$\frac{b^2}{c+a}$+$\frac{c^2}{a+b}$+$\frac{b+c}{4}$+$\frac{c+a}{4}$+$\frac{a+b}{4}$\geqa+b+c
\LeftrightarrowP+$\frac{a+b+c}{2}$\geqa+b+c
\LeftrightarrowP\geq$\frac{a+b+c}{2}$
Mà a+b+c=6\RightarrowP\geq$\frac{6}{2}$=3
Vậy $P_{min}$=3\Leftrightarrowa=b=c=2