Toán tỉ số lượng giác,mong mấy anh chị giúp...

[pupso012]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác ABC có trung tuyến BM và CN vuông góc nhau:
CMR :cotB +cotC >= [TEX]\frac{2}{3}[/TEX]

 

[tuyn]

Có thể hơi dài chút xíu:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \Rightarrow tam giác GBC vuông tại G \Rightarrow [TEX]GB^2+GC^2=BC^2 \Leftrightarrow \frac{4}{9}(m_b^2+m_c^2)=a^2 \Leftrightarrow 4(\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}+\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4})=9a^2 \Leftrightarrow b^2+c^2=5a^2 \Leftrightarrow b^2+c^2-a^2=4a^2 \Leftrightarrow 2bc.cosA=4a^2 \Leftrightarrow cosA=\frac{4a^2}{2bc} \geq \frac{4a^2}{b^2+c^2}=\frac{4a^2}{5a^2}=\frac{4}{5}[/TEX]
[TEX]1-sin^2A=cos^2A \geq \frac{16}{25} \Leftrightarrow sinA \leq \frac{3}{5}[/TEX]
[TEX]b^2+c^2=5a^2 \Leftrightarrow sin^2B+sin^2C=5sin^2A \Leftrightarrow 5sin^2A \geq 2sinB.sinC \Rightarrow sinB.sinC \leq \frac{5sin^2A}{2}[/TEX]
[TEX]cotB+cotC=\frac{sinA}{sinB.sinC} \geq \frac{sinA}{\frac{5sin^2A}{2}}=\frac{2}{5sinA} \geq \frac{2}{5.\frac{2}{5}}=\frac{2}{3}[/TEX]