Toán 9 Toán rời rạc HSG

[hoàng việt nam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề: Trong mặt phẳng cho 2020 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được ít nhất 253 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của 1 tam giác có diện tích không lớn hơn [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]
Nhờ mn giúp ạ.
@Mộc Nhãn Help me!

 

[Lê.T.Hà]

Gọi ABC là tam giác có diện tích lớn nhất. Qua A, B, C vẽ 3 đường thẳng song song cạnh đối diện, chúng cắt nhau tại D, E, F
$$\Rightarrow S_{ABC}=S_{ACE}=S_{BCF}=S_{ABD} \leq 1$$
$$S_{DEF} = 4S_{ABC} \leq 4$$
Dễ dàng chứng minh 2020 điểm đã cho đều nằm trọn trong tam giác DEF (hoặc trên các cạnh) bằng phản chứng: giả sử tồn tại điểm M nào đó nằm ngoài DEF như hình vẽ thì $$d(M/BC)>d(A/BC)\Rightarrow S_{MBC}>S_{ABC}$$ trái giả thiết ABC là tam giác có diện tích lớn nhất)
Lấy các trung điểm I, G, H của AB, AC, BC và nối lại như hình ta được 8 tam giác có diện tích S bằng nhau và $$S=\dfrac{1}{2}S_{ABC} \leq \dfrac{1}{2}$$
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 8 tam giác đã cho luôn tồn tại ít nhất một tam giác có chứa không ít hơn $$[\dfrac{2020}{8}]+1=253$$ điểm